专题19 数列综合题-备战2024年浙江新高考数学真题模拟题分类汇编（解析版）.docx

专题19数列综合题

1．（2023?新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．

（1）若，，求的通项公式；

（2）若为等差数列，且，求．

【答案】（1），；（2）

【详解】（1），，

根据题意可得，

，

，又，

解得，，

，；

（2）为等差数列，为等差数列，且，

根据等差数列的通项公式的特点，可设，则，且；

或设，则，且，

①当，，时，

则，

，，又，

解得；

②当，，时，

则，

，，又，

此时无解，

综合可得．

2．（2022?新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．

（1）求的通项公式；

（2）证明：．

【答案】（1）；（2）见解析

【详解】（1）已知，是公差为的等差数列，

所以，整理得，①，

故当时，，②，

①②得：，

故，

化简得：，，，，；

所以，

故（首项符合通项）．

所以．

证明：（2）由于，

所以，

所以．

3．（2021?新高考Ⅰ）已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和．

【答案】（1），，，．（2）300

【详解】（1）因为，，

所以，，，

所以，，

，，

所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列，

所以．

另解：由题意可得，，

其中，，

于是，．

（2）由（1）可得，，

则，，

当时，也适合上式，

所以，，

所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，

则的前20项和为

．

4．（2023?杭州二模）设公差不为0的等差数列的前项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）设等差数列的公差为，，，

，，，

联立解得，，

．

（2）数列满足，，

，，

，

时，，，

．

数列的前项和．

5．（2023?宁波一模）已知数列的前项和满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）在中，令，则，即，

当时，有，

两式相减得，，即，

所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，

所以数列．

（2），

所以，

设数列的前项和为，则，

而，

所以，

两式相减得，，

所以，

所以．

6．（2023?杭州一模）已知数列的前项和为，且．

（1）求及数列的通项公式；

（2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求数列的前项和．

【答案】（1），，；（2）

【详解】（1）由题意，当时，，解得，

当时，，

即，解得，

当时，由，

可得，

两式相减，可得，

整理，得，

数列是以2为首项，2为公比的等比数列，

，．

（2）由（1）可得，，，

在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，

则有，

，

，

，

，

两式相减，

可得

，

．

7．（2023?浙江模拟）已知正项数列的前项和为，且满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列为等比数列，且，，求数列的前项和．

【答案】（1）；（2）

【详解】（1）由可得，①

，②

由①②可得：，，

即，即，

又数列为正项数列，

所以，

因为，所以，

所以数列为以1为首项，公差为2的等差数列，

故．

（2）由（1）得：，，又，，

所以，，数列为等比数列，设其公比为，

则，所以，

所以，

则，③

，④

③④得：，

则．

8．（2023?宁波二模）已知等比数列的前项和满足．

（1）求首项的值及的通项公式；

（2）设，求满足的最大正整数的值．

【答案】（1），；（2）见解析

【详解】（1），

，

，，，

数列为等比数列，公比，

又，，，

；

（2）由（1）知，，

，

，

，

，设，

，

当时，单调递增，又（1）（2），

又，

，

满足题意的最大正整数为11．

9．（2023?浙江模拟）在数列中，，在数列中，．

（1）求证数列成等差数列并求；

（2）求证：．

【答案】见解析

【详解】（1）证明：由题意可得，，

故，

即，

所以数列是以1为公差的等差数列，

所以，

所以；

（2）证明：由，得，

于是，

所以，

，

所以．

10．（2023?宁波模拟）函数的图象为自原点出发的一条折线，当时，该函数图象是斜率为的一条线段．已知数列由定义．

（1）用表示，；

（2）若，记，求证：．

【答案】（1），；（2）见解析

【详解】（1）由题意可得，，，

解得：，；

证明：（2）当时，由，得，

，则，

，

令，

则，

，

，

则．

11．（2023?浙江模拟）已知数列的前项和为，数列为等差数列，且满足．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若，，，求数列的前项和．

【答案】（1）；；（2）

【详解】（1）令，，，

令，，

又，所以，

即，所以，

，①，②

两式相减得，

，，

即是公比为2的等比数列，且，

所以，；

（2）由，可得，

，

累加可得，

，

而

，

．

12．（2023?温州模拟）已知是首项为1的等