五章矩阵分析课件ch 51.pdfVIP

第五章第五章向量与矩阵的范数向量与矩阵的范数

RCn

定义：设是实数域（或复数域）上的维

V

α

线性空间，对于中的任意一个向量按照某一

V

α

确定法则对应着一个实数，这个实数称为的范

数，记为α，并且要求范数满足下列运算条件：

（1）非负性：当α≠0,α0,当且仅当

α0,α0.

（2）齐次性：kαkα,k为任意数。

Vα,β

（3）三角不等式：对于中的任意两个向量

都有

αα++ββ≤≤αα++ββ

nnn

例例：：在在维线性空间维线性空间中中，，对于任意的向量对于任意的向量

CC

α(a,a,,a)=∈Cn

12n

定义n

(1)α11∑∑ai

i1

n

21

(2)(2)αα((∑∑aa))22

2i

i1

(3)(3)αmaxai

∞1in

≤≤

则

αα,αα,αα

12∞

Cn

都是上的范数，并且还有

(1)(1)α≤α≤nα

∞1∞

(2)(2)αα≤≤αα≤≤nnαα

212

(3)(3)αα≤≤αα≤≤nnαα

∞2∞

引理引理（（HoiderHoider不等式不等式）：）：设设

TT

αa,,a,,,,a,,ββb,,b,,,,b∈C⎡⎤⎡⎤n

⎣⎣1122nn⎦⎦⎣⎣1122nn⎦⎦

则

n