广西柳州铁一中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学题（解析版）.docxVIP

柳州铁一中学2023级高二上学期数学试题

一?单选题

1.已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，过作圆的切线,,切点为,使得，则椭圆的离心率的取值范围是

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB，则两切线形成的角最小，若椭圆上存在满足条件的点P，则只需，即，，解得，，即，又，即椭圆的离心率的取值范围是；

考点：椭圆方程及性质

2.椭圆，（）的右顶点为，已知，若椭圆上存在点，满足，则椭圆离心率的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求，再求点满足的轨迹方程，接着判断，最后求椭圆的离心率的取值范围.

【详解】解：因为椭圆，所以，

设点，因为，，，

所以点满足的轨迹方程：，即，

故当时，点存在，

故椭圆的离心率，又因为，

所以

故选：B

【点睛】本题考查求点的轨迹方程、求椭圆的离心率，是基础题

3.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆心到距离为，可得圆上的点到的距离最大值为，最小值为，再由，可得，从而得到答案.

【详解】圆的圆心，半径为，

因为圆心到距离为，

所以圆上的点到的距离最大值为，最小值为，

又因为，则以为直径的圆和圆有交点，

可得，

所以有，

故选：D

【点睛】本题主要考查了实数值取值范围的求法，注意圆的性质的合理运用，属于中档题.

4.设分别是椭圆的左?右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为（）

A4 B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】分析题意，找到垂直关系，利用椭圆的定义表示边长，运用勾股定理消参，用倾斜角和斜率的关系得到答案即可.

详解】

点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，

，设

，在Rt中，，

，解得，

在Rt中，

所以直线的斜率为，

故选：B.

5.加斯帕尔蒙日是世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为时，蒙日圆方程为.已知长方形的四边均与椭圆相切，则下列说法错误的是（）

A.椭圆的离心率为

B.若为正方形，则的边长为

C.椭圆的蒙日圆方程为

D.长方形的面积的最大值为

【答案】B

【解析】

【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A正确；根据蒙日圆方程定义可知C正确；结合长方形的对角线长和基本不等式可求得BD错误.

【详解】对于A，由椭圆方程知：，，则，

椭圆的离心率，A正确；

对于BC，由A知：椭圆对应的蒙日圆方程为：，

正方形是圆的内接正方形，正方形对角线长为圆的直径，

正方形的边长为，B错误，C正确；

对于D，设长方形的长和宽分别为，

长方形的对角线长为圆的直径，，

长方形的面积（当且仅当时取等号），

即长方形的面积的最大值为，D正确.

故选：B.

6.若椭圆：的蒙日圆为，则椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据蒙日圆的概念，可知过椭圆右顶点和上顶点的切线的交点在蒙日圆上，坐标满足圆的方程，从而得到关于的方程进行求解.

【详解】如图，分别与椭圆相切，显然.

所以点在蒙日圆上，所以，

所以，即，所以椭圆的离心率.

故选：D.

7.现将质点随机投入椭圆所对应的蒙日圆内，则质点落在椭圆外部的概率为？（附：椭圆的面积公式为）（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出蒙日圆面积，再求出椭圆面积，根据几何概率即可得到答案.

【详解】由题意知，蒙日圆的半径为，

所以，

根质点落在椭圆外部的概率为.

故选：D.

8.若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】先由椭圆方程可得蒙日圆方程，再由两个圆仅有一个公共点可得圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，进而可得的值.

【详解】由题意可知的蒙日圆方程为，

因为圆与圆仅有一个公共点，

所以两圆内切或外切，

故圆心距等于半径之和或者圆心距等于半径差的绝对值，

所以或，

由此解得.

故选：B.

9.已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若面积的最大值为34，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意先求蒙日圆的半径，再由可得直径，又利用基本不等式的求得的最大值，进而由面积的最大值为34可得的值.

【详解】由题意可知椭圆的蒙日圆的半径