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第二节一、空间直角坐标系二、向量的坐标表示点的坐标与向量的坐标第八章三、向量的模、方向角四、向量的投影

ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点o,坐标面卦限(八个)zox面Ⅰ

向径在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);

坐标轴:坐标面:

二、向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M则的坐标为此式称为向量r的标准分解式,任意向量r可用向径OM表示.

此式称为向量r的标准分解式,沿三个坐标轴方向的分向量.

向量的坐标表示式在空间直角坐标系下，空间中任意一点M对应一个向量点M关于原点的向径

利用坐标作向量的线性运算设则平行向量对应坐标成比例:

例3.已知两点在AB直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示及实数得即

说明:由得定比分点公式:点M为AB的中点,于是得中点公式:

定理1：三向量共面的充分必要条件是

向量a,b,c共面证明：由定理1.2的推论可知存在不全为零的数齐次线性方程组有非零解组

三、向量的模、方向角1.向量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得

因得两点间的距离公式:对两点与

例5.在z轴上求与两点等距解:设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.

提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.已知两点和解:求

2.方向角与方向余弦设有两非零向量任取空间一点O,称?=∠AOB(0≤?≤?)为向量的夹角.类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角?,?,?为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.记作

方向余弦的性质:

已知向量的坐标，可以求出向量的模和方向余弦（角）；反之，已知向量的模和方向角，可以确定向量的坐标：

例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算向量

四、向量的投影称有向线段为向量a在向量b上的投影向量。称数为向量a在向量b上的投影，记作

注意：投影是一个数，可正可负可零。在上述投影的定义中，可将向量b换成数轴Ou，相应的向量在轴Ou上的投影记作这里φ表示向量a与Ou轴的夹角。

设向量所以

例8.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为求点A的坐标.则因点A在第一卦限,故于是故点A的坐标为向径OA与x轴y轴的夹