2025年1月八省联考——几何光学性质下的焦点三角形.pdf

MST老唐说题团队

2025年1月八省联考--几何光学性质下的焦点三角形

摘自《MST老唐说题新思路圆锥曲线2025版》51-59页

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1

(2025年1月八省联考数学)已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为F-1,0，

1

2

F1,0

2

(1)求C的方程；

(2)已知点M1,4，证明：线段FM的垂直平分线与C恰有一个公共点；

010

(3)设M是坐标平面上的动点，且线段FM的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的1

轨迹为圆，并求该圆的方程．

c1a=2

=⇒,C2

a22

b=3xy

(1)由题意知c=1的方程为+=1．

243

22

a=b+c

1

(2)设FM中点为P,∴P0,2,k=2,∴FM的中垂线方程为y=-x+2

10FM20

102

1212

y=-x+2⇒3x+4x-2x+4=12

2422

,∴4x-8x+4=0即x-2x+1=0

22

3x+4y=12

2

∴x-1=0∴FM的垂直平分线与C恰有一个公共点．

10

3

∴FM与C公共点只有一个为1,

12

xxyy4y

(3)设αx,y