数学分析10.6定积分的近似计算.doc

第十章定积分的应用

6定积分的近似计算

根据定积分的定义，每一个积分和都可看做是定积分的一个近似值，

如dx=(或).这种用一系列小矩形面积来近似表示曲边梯形面积的方法称为矩形法.

只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度.

一、梯形法

将积分区间[a,b]作n等分，分别依次为a=x0x1x2…xnb,△xi=.

相应的被积函数记为y0,y1,y2,…,yn(yi=f(xi),i=0,1,2,…,n)，

并记曲线y=f(x)上相应的点为P0,P1,P2,…,Pn(Pi(xi,yi),i=0,1,2,…,n).

将曲线上每一段弧eq\o(\s\up5(⌒),\s\do2(P\s(,i-1)P\s(,i)))用弦来替代，使得每个小区间[xi-1,xi]上的曲边梯形换成了真正的梯形，其面积为：△xi,i=0,1,2,…,n.

于是，各小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，即

dx=，亦即dx=(+y1+y2+…+yn-1+).

此近似式称为定积分的梯形法公式.

二、抛物线法

将积分区间[a,b]作n等分，分别依次为a=x0x1x2…x2nb,△xi=.

相应的被积函数记为y0,y1,y2,…,y2n(yi=f(xi),i=0,1,2,…,2n)，

曲线y=f(x)上相应的点为P0,P1,P2,…,P2n(Pi(xi,yi),i=0,1,2,…,n).

现把区间[x0,x2]上的曲线y=f(x)用通过三点P0(x0,y0),P1(x1,y1),P2(x2,y2)

的抛物线p1(x)=α1x2+β1x+γ1来近似替代，便有

dx≈dx=dx

=(x23-x03)+(x22-x02)+γ1(x2-x0)

=[(α1x02+β1x0+γ1)+(α1x22+β1x2+γ1)+α1(x0+x2)2+2β1(x0+x2)+4γ1]

=(y0+y2+4y1)=(y0+4y1+y2).

同样的，在[x2i-2,x2i]上，用pi(x)=αix2+βix+γi来近似替代曲线y=f(x)，

可得dx≈dx=(y2i-2+4y2i-1+y2i).

按i=1,2,…,n把这些近似式相加，得：

dx=dx≈，即

dx≈[y0+y2n+4(y1+y3+…+y2n-1)+2(y2+y4+…+y2n-2)].

这就是抛物线法公式，也称为辛普森公式.

例：分别用三种求定积分近似值的方法求，并与准确值比较.

解：将区间[0,1]十等分，各分点上被积函数的值如下表(取七位小数)：

xi

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

yi

1

0.9900990

0.9615385

0.9174312

0.8620690

0.8

xi

0.6

0.7

0.8

0.9

1

yi

0.7352941

0.6711409

0.6097561

0.5524862

0.5

1)用矩形法公式计算，得：

≈(y0+y1+…+y9)=0.8099；

或≈(y1+y2+…+y10)=0.7600.

2)用梯形法公式计算，得：

≈(+y1+y2+…+y9+)=0.7850.

3)用抛物线法公式计算，得

≈[y0+y10+4(y1+y3+…+y9)+2(y2+y4+…+y8)]=0.7853982.

4)通过牛顿—莱布尼茨公式求原函数得准确值为：

=arctan1==0

可见，抛物线法得到的结果最接近准确值.

习题

1、分别用梯形法和抛物线法近似计算(将积分区间十等分).

解：将区间[1,2]十等分，各分点上被积函数的值如下表(取七位小数)：

xi

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

yi

1

0.9090909

0.8333333

0.7692308

0.7142857

0.6666667

xi

1.6

1.7

1.8

1.9

2

yi

0.625

0.5882353

0.5555556

0.5263158

0.5

1)用梯形法公式计算，得：

≈(+y1+y2+…+y9+)=0.69377.

2)用抛物线法公式计算，得

≈[y0+y10+4(y1+y3+…+y9)+2(y2+y4+…+y10)]=0.693150.

注：通过牛顿—莱布尼茨公式求原函数得准确值为：

=ln2=0.693147…

2、用抛物线法近似计算dx(分别将积分区间二等分、四等分、六等分).

解：当n=2时，dx≈[1+4(+)+2·]≈1.852211；

当n=4时，dx≈[1+4(sin+sin+sin+sin)

+2(++)]≈1.851937；

当n=6时，dx≈[1+4(sin++sin+sin

++sin)+2(++++)]≈1.851940；

注：的原函数不是初等函数，所以不能直接通过牛顿—莱布尼茨公式求定积分.

3、下图为河道