《概率论与数理统计及其MATLAB实现（微课版）》 习题及答案 第4章 .doc

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习题4.1

1.设随机变量的分布律如表4-15所示，

表4-15

-1012

1/81/21/81/4

求

【解】(1)

(2)

(3).

2.随机变量的概率分布为：

已知，求常数

【解】由于

从而

又因

所以

3.设随机变量的分布律为

X

??101

P

p1p2p3

且已知,求.

【解】因……①,

又……②,

……③

由①②③联立解得

4.气体分子的速度服从麦克斯威尔（Maxwell）分布，其概率密度为

其中为常数，求系数及的数学期望.

【解】由于，则

，得到.

于是

5.设随机变量相互独立，且求下列随机变量的数学期望.

(1)；

(2).

【解】(1)

(2)

（因为相互独立）

6.设随机变量的联合概率密度为

试确定常数，并求.

【解】因故.

.

7.设是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

求.

【解】(方法一)先求X与Y的数学期望

由与的独立性，得

(方法二)利用随机变量函数的数学期望公式.因与独立，故联合密度为

于是

8.设随机变量的概率密度分别为

求（1）;（2）.

【解】

从而(1)

(2).

习题4.2

1.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量，求

【解】设随机变量表示在取得合格品以前已取出的废品数，则的可能取值为0，1，2，3,并且

由此可得

2.设随机变量的概率密度函数为

求

【解】

3.设随机变量的概率密度为

求（1）系数;（2）数学期望;（3）方差.

【解】(1)由，得.

(2)

(3)

故

4.设两个随机变量相互独立，且，，，求,.

【解】

由于随机变量相互独立，则

5.设是相互独立的随机变量，并且有

,是不全为零的常数，求随机变量服从的分布.

【解】由于是相互独立的随机变量，并且均服从正态分布，即

，

则也服从正态分布.

因为,

,

于是，.

6.设是相互独立的随机变量，且有，，，记.

（1）验证=μ，；

（2）验证；

（3）验证.

【证明】(1)

由于是相互独立的随机变量，从而

(2)因为

，

所以，.

(3)因,故

同样，因,故.

从而

7.设随机变量服从二维正态分布，联合概率密度函数为

求随机变量的数学期望和方差.

【解】

；

，

所以

.

8.对于两个随机变量，若存在，证明：

.

这一不等式称为柯西-许瓦兹（Couchy-Schwarz）不等式.

【证明】令

显然

可见此关于的二次式非负，故其判别式，

即

故

习题4.3

1.设二维随机变量的联合概率密度函数为

计算.

【解】，

，

，

于是，.

2.对随机变量和，已知，,

计算.

【解】

3.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

试验证和是不相关的，但和不是相互独立的.

【解】

.

而

,

由此得,故与不相关.

下面讨论独立性.当时，

当时，.

显然,,

所以，X和Y不是相互独立的.

4.设随机变量的分布律为

X

Y

01

0

1

1/81/81/8

1/801/8

1/81/81/8

验证和是不相关的，但和不是相互独立的.

【解】由联合分布律易求得，及的分布律如下

于是

从而

所以，和是不相关的.

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又，

从而和不是相互独立的.

5.（第三节）设二维随机变量在以点为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求，.

【解】如图，，故的概率密度为

,

,

从而,

同理

而

所以

.

从而.

6.设二维随机变量的概率密度为

求