2024年高考数学一轮复习专题7.7分布列与其他知识的综合运用练习含解析.docVIP

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第七讲分布列与其他学问的综合运用

【修炼套路】

【修炼套路】为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始

考向一与函数的综合

【例1】为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①依据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过分时，按元/分计费；超过分时，超出部分按元/分计费．已知王先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间(分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布状况如下表所示：

时间（分）

频数

2

18

20

10

将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分．

（1）写出王先生一次租车费用（元）与用车时间（分）的函数关系式；

（2）若王先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望；

（3）若公司每月给1000元的车补，请估计王先生每月（按22天计算）的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）

【答案】(1)(2)见解析(3)估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用

【解析】（1）当时，

当时，.

得：

（2）王先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率

可取，，，.

，

，

的分布列为

或依题意，

（3）王先生租用一次新能源分时租赁汽车上下班，平均用车时间（分钟），

每次上下班租车的费用约为（元）

一个月上下班租车费用约为，

估计王先生每月的车补够上下班租用新能源分时租赁汽车用．

【举一反三】

1．为普及科学学问，提高全民科学参与度，某科技馆举办了嬉戏科普有奖活动，设置了甲、乙两种嬉戏方案，详细规则如下：玩一次甲嬉戏，若绿灯闪亮，获得70分；若黄灯闪亮，则获得10分；若红灯闪亮，则扣除20分（即获得-20分），绿灯，黄灯及红灯闪亮的概率分别为，，；玩一次乙嬉戏，若出现音乐，则获得80分；若没有出现音乐，则扣除20分（即获得-20分），出现音乐的概率为.每位顾客能参与两次甲嬉戏或两次乙嬉戏（两次嬉戏中甲、乙不能同时参与，只能选择其一）且每次嬉戏互不影响.若两次嬉戏后获得的分数为正，则获得奖品；若获得的分数为负，则没有奖品.

⑴若，试问顾客选择哪种嬉戏更简单获得奖品？请说明理由.

⑵当在什么范围内取值时，顾客参与两次乙嬉戏后取得的平均分更高？

【答案】（1）顾客选择乙嬉戏更简单获得奖品.（2）

【解析】设顾客参与两次甲嬉戏后，获得的分数为，设顾客参与两次乙嬉戏后，获得的分数为.

（1）当取值为140，80，50，20时，顾客参与两次甲嬉戏后可以获得奖品，由条件得

，，

.

记事务为“顾客参与两次甲嬉戏后获得奖品”，

则.

当取值为160，60时，顾客参与两次乙嬉戏后可以获得奖品，由条件得

，.

记事务为“顾客参与两次乙嬉戏后获得奖品”，

则，因为，所以当时，顾客选择乙嬉戏更简单获得奖品.

（2）由题意可知，的可能取值为140，80，50，20，-10，-40，则随机变量的分布列为

140

80

50

20

-10

-40

于是.

由条件知，的可能取值为160，60，-40，故随机变量的分布列为

160

60

-40

于是.

为满意题设条件只需，即，解得，

故的取值范围是.

2．某商场准备在今年的“五一假”期间对顾客实行抽奖活动，举办方设置了两种抽奖方案，方案的中奖率为，中奖可以获得分;方案的中奖率为,中奖可以获得分；未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，并凭分数兑换奖品，

（1）若顾客甲选择方案抽奖，顾客乙选择方案抽奖，记他们的累计得分为，若的概率为，求

（2）若顾客甲、顾客乙两人都选择方案或都选择方案进行抽奖，问:他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大?

【答案】（1）（2）当时，他们都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值较大；当时，他们都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值较大；当时，他们都选择方案或都选择方案进行抽奖时，累计得分的均值相等

【解析】（1）由已知得，甲中奖的概率为，乙中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响

记“这人的累计得分”的事务为，则事务的对立事务为“”

（2）设甲、乙都选择方案抽奖的中奖次数为，都选择方案抽奖的中奖次数为

则这两人选择方案抽奖累计得分的均值为，选择方案抽奖累计得分的均值为

由已知可得：，

，

，

若，则

若，则

若，则

综上所述：当时