高三数学大题规范训练(11)(解析版).docxVIP

高三数学大题规范训练（11）

15.设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：.

【答案】（1）

（2）证明见解答

【解答】

【分析】（1）设等差数列的公差为，则，根据等比中项的性质及等差数列通项公式得到方程，求出，即可求出通项公式；

（2）由（1）得，即，从而得到，再利用裂项相消法计算可得.

【小问1详解】

设等差数列的公差为，则，

，，成等比数列，

则，即，

将代入上式，解得或（舍去）．

；

【小问2详解】

由（1）得，又，

所以，

所以，

则

．

16.某基层工会拟通过摸球的方式对会员发放节日红包.现在一个不透明的袋子中装有5个都标有红包金额的球，其中有2个球标注的为40元，有2个球标注的为50元，有1个球标注的为60元，除标注金额不同外，其余均相同，每位会员从袋中一次摸出1个球，连续摸2次，摸出的球上所标的红包金额之和为该会员所获得的红包总金额.

（1）若每次摸出的球不放回袋中，求一个会员所获得的红包总金额不低于90元的概率；

（2）若每次摸出的球放回袋中，记为一个会员所获得的红包总金额，求的分布列和数学期望.

【答案】（1）

（2）分布列见解答，96

【解答】

【分析】（1）利用正难则反的原则即可得到答案；

（2）按步骤得到分布列，再利用期望公式即可得到答案.

【小问1详解】

设事件“一个会员所获得的红包总金额不低于90元”，

因为每次摸出的球不放回袋中，所以.

【小问2详解】

由已知得，，

因为每次摸出的球放回袋中，所以每次摸出40元、50元和60元红包的概率分别为，，，

所以，，

，

，，

所以得分布列为

80

90

100

110

120

所以.

17.已知函数.

（1）若，当时，试问曲线是否存在能与两坐标轴围成等腰直角三角形的切线？若存在，求出切线方程；若不存在，请说明理由；

（2）若在上单调，求实数的取值范围.

【答案】（1）存在，或

（2）

【解答】

【分析】（1）易知满足题意的切线方程斜率需为1或，且不过原点，利用导数的几何意义可求得结果；

（2）利用导数与函数的单调性的关系将问题转化为在上恒成立，再对分情况讨论即可求得实数的取值范围为.

【小问1详解】

若，则，得，

若一条直线能与两坐标轴围成等腰直角三角形，则该直线的斜率为1或，且不过原点；

易知，显然不可能成立，

当时，令，得，故，

所以切点或，

所以存在切线满足题意，且切线方程为或.

【小问2详解】

求导可知，

因为在上单调，且，

所以在上单调递减，

则在上恒成立，

若，由（1）易知符合题意，

若，当时，；当时，单调递增，

所以，即，解得；

若，当时，；当时，单调递减，

所以，即，解得；

综上，实数的取值范围为.

18.如图，在矩形纸片中，，，沿将折起，使点到达点的位置，点在平面的射影落在边上.

（1）求的长度；

（2）若是边上的一个动点，是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由.

【答案】（1）1（2）

【解答】

【分析】（1）利用投影性质以及线面垂直性质可得，再利用三角形相似可求得；

（2）建立空间直角坐标系，设，并根据坐标分别求得平面与平面的法向量，由两平面夹角的余弦值列方程解得，可得.

【小问1详解】

作，垂足为，连接，如下图所示：

由点在平面的射影落在边上可得平面，

又平面，所以，

因为，且平面，

所以平面，

又平面，所以，

又因为为矩形，，可得，

由，可得，

所以，；

由可得，即；

即的长度为1.

【小问2详解】

根据题意，以点为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则，并设，

可得，所以；

易知，，

设平面的一个法向量为，

所以，解得，取，则，

即，

设平面的一个法向量为，

所以，解得，取，则，

即，

因此可得，整理可得，

解得（舍）或；

因此，即可得.

所以的长度为.

19.已知，动点满足，动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点.

（1）求曲线的标准方程;

（2）已知是定值，求该定值;

（3）求面积的范围.

【答案】（1）

（2）

（3）

【解答】

【分析】（1）设点的坐标，由题意可得点的恒纵坐标的关系，即可得到曲线的标准方程；

（2）设直线和直线方程，然后与椭圆的方程联立，即可得到的坐标关系，进而可得为定值；

（3）由题意可得的比值，由题意可得面积的表达式，再由函数的单调性，即可得到结果.

【小问1详解】

令Px,y且，因为，所以，

整理可得，

所以的标准方程为.

【小问2详解】

设Px0,y0

设直线和直线的方程分别为，，

联立直线与椭圆方程，整理可得，

则，，