平面向量与复数专项训练.docx

平面向量与复数

平面向量的概念及其线性运算

平面向量的概念

例1(多选)(2023·烟台月考)给出下列命题，其中叙述错误的命题为()

A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的长度与向量eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等

B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反

C．|a|＋|b|＝|a－b|?a与b方向相反

D．若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同

答案BCD

解析A正确，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))是相反向量，长度相等；B错误，当a，b其中之一为0时，不成立；C错误，当a，b其中之一为0时，不成立；D错误，当a＋b＝0时，不成立．故选BCD.

平面向量的线性运算

例2若向量a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则向量a与向量a＋b所在直线的夹角是________(用弧度表示)．

答案eq\f(π,6)

解析设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以OA，OB为邻边作?OACB，如图所示，则a＋b＝eq\o(OC,\s\up6(→))，a－b＝eq\o(BA,\s\up6(→)).因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|，所以△OAB是等边三角形，所以∠BOA＝eq\f(π,3).在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，所以向量a与向量a＋b所在直线的夹角为eq\f(π,6).

例3(1)(2022·新课标Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA，记eq\o(CA,\s\up6(→))＝m，eq\o(CD,\s\up6(→))＝n，则eq\o(CB,\s\up6(→))＝()

A．3m－2nB．－2m＋3nC．3m＋2n D．2m＋3n

答案B

解析eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，即eq\o(CB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CA,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＝－2m＋3n.故选B.

(2)(2023·宣城模拟)我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(BA,\s\up6(→))＝b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝3eq\o(EF,\s\up6(→))，则eq\o(BF,\s\up6(→))＝()

A.eq\f(12,25)a＋eq\f(9,25)bB.eq\f(16,25)a＋eq\f(12,25)bC.eq\f(4,5)a＋eq\f(3,5)b D.eq\f(3,5)a＋eq\f(4,5)b

答案B

解析eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)\o(BF,\s\up6(→))＋\o(BA,\s\up6(→))))，解得eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(16,25)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(12,25)eq\o(BA,\s\up6(→))，即eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(16,25)a＋eq\f(12,25)b.

例4(2023·江苏省八市第二次调研)在?ABCD中，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up6(→)).若eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(DF,\s\up6(→))＋neq\o(AE,\s\up6(→))，则m＋n＝()

A.eq\f(1,2)