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高三数学大题规范训练（16）

15.已知为等差数列，且，．

（1）求的通项公式；

（2）若恒成立，求实数λ的取值范围．

【答案】（1）

（2）

【解答】

【分析】（1）根据题意建立方程求出等差数列的首项与公差，从而可求解；

（2）先求出等差数列的前n项和，再将恒成立问题参变分离，接着利用数列的单调性求出最值，从而得解．

【小问1详解】

设数列的公差为d，则根据题意可得，

解得，则．

【小问2详解】

由（1）可知运用等差数列求和公式，得到，

又恒成立，则恒成立，

设，则，

当时，，即；

当时，，则，则；

则，故，

故实数λ的取值范围为．

16.某公司有5台旧仪器，其中有2台仪器存在故障，

（1）现有一位工人从这5台仪器中随机选择3台进行检测，记ξ为这3台仪器中存在故障的台数，求ξ的分布列和数学期望；

（2）为了提高生产，该公司拟引进20台此种新仪器，若每台仪器运行相互独立，且每台机器在运行过程中发生问题的概率为0.03，记X为这20台新仪器在运行过程中发生故障的台数，借助泊松分布，估计时的概率.

附：①若随机变量ξ的分布列为则称随机变量ξ服从泊松分布．

②设，当且时，二项分布可近似看成泊松分布．即，其中．

③泊松分布表（局部）

表中列出了的值（如：时，

…

0.5

0.6

0.7

…

0

…

0.606531

0.548812

0.496585

…

1

…

0.303265

0.329287

0.347610

…

2

…

0.075816

0.098786

0.121663

…

3

…

0.012636

0.019757

0.028388

…

4

…

0.001580

0.002964

0.004968

…

5

…

0.000158

0.000356

0.000696

…

6

…

0.000013

0.000036

0.000081

…

7

…

0.000001

0.000003

0.000008

…

【答案】（1）分布列见解答，

（2）0.019757

【解答】

【分析】（1）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，进而得到ξ的分布列，再结合期望公式求解；

（2）依题，此时二项分布可近似看成泊松分布，再利用泊松分布的概率公式求解．

【小问1详解】

解：（1）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，

则，，，

所以ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

P

所以ξ的期望为；

【小问2详解】

依题题意，得，则，

所以，

因为，所以，

于是，

所以时的概率估计值为．

17.已知四棱台的上、下底面分别是边长为和的正方形，平面平面，，，，点为的中点，点在棱上，且．

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值．

【答案】（1）证明见解答

（2）

【解答】

【分析】（1）取的中点为，连结，，先证四边形是平行四边形，可得，再由线面平行的判定定理，即可得证；

（2）结合余弦定理与勾股定理可证，利用面面垂直的性质定理知平面，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角，即可得解．

【小问1详解】

证明：取的中点为，连结，因为为中点，

则，且，

因为，，，所以

所以，，

所以四边形是平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面;

【小问2详解】

在中，，所以，

在中，，即，

因为平面⊥平面，平面平面，平面，

所以平面，

故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

所以，，

设平面的法向量为，则，

令，得，，所以，

易知平面的一个法向量为，

设二面角为，由图知为钝角，

所以，

所以，

故二面角的正弦值为．

18.在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别是x轴和y轴上的动点，且动点满足，记P的轨迹为C．

（1）求C的方程；

（2）设曲线C与x轴的交点为A1，A2（A1在A2的左边），过点Q（1，0）且不与x轴平行的直线l与C相交于M，N两点，记直线A1M，A2N的斜率分别为k1和k2，求的值．

【答案】（1）

（2）

【解答】

【分析】（1）由已知结合向量线性运算的坐标表示即可求解；

（2）联立直线与椭圆方程，结合方程的根与系数关系及直线的斜率关系即可求解．

【小问1详解】

解：设，

因为，所以，

由得，，

将，代入得，，

所以动点P的轨迹C的方程为；

【小问2详解】

由（1）知，

联立得，，

由韦达定理得，，

于是，从而，

因为，，

则，，

，所以．

19.若函数在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“k类函数”

（1）若，判断是否为上的“4类函数”；

（2）若为上的“2类函数”，求实数a的取值范围；

（3）若为上的“2类函数”且，证明：，，.

【答案】（1）是（2）

（3）证明见解答

【解答】

【分析】（1