解密07 任意角的三角函数、诱导公式及恒等式（解析版）.docx

解密07讲：任意角的三角函数、诱导公式与恒等式

【考点解密】

1．角的概念

(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．

(2)分类eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))

(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.

(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．

(2)公式

角α的弧度数公式

|α|＝eq\f(l,r)(弧长用l表示)

角度与弧度的换算

1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°

弧长公式

弧长l＝αr

扇形面积公式

S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr2

3.任意角的三角函数

设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)．

三个三角函数的性质如下表：

三角函数

定义域

第一象限符号

第二象限符号

第三象限符号

第四象限符号

sinα

R

＋

＋

－

－

cosα

R

＋

－

－

＋

tanα

{α|α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}

＋

－

＋

－

4．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).

5．三角函数的诱导公式

公式

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α(k∈Z)

π＋α

－α

π－α

eq\f(π,2)－α

eq\f(π,2)＋α

正弦

sinα

－sinα

－sinα

sinα

cosα

cosα

余弦

cosα

－cosα

cosα

－cosα

sinα

－sinα

正切

tanα

tanα

－tanα

－tanα

口诀

奇变偶不变，符号看象限

6．常见特殊角的三角函数值

n

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

270°

360°

0

2π

sin

0

1

0

-1

0

cos

1

0

-

-

-

-1

0

1

0

1

-

-1

-

0

0

7．两角和与差的余弦、正弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；

(2)cos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ；

(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1?tanαtanβ

8．二倍角公式

(1)基本公式：

①sin2α＝2sinαcosα；

②cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

③tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).

(2)公式变形：

由cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得

降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)；

升幂公式：cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

9．辅助角公式

asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).（其中）

＝eq\r(a2＋b2)cos(x—φ).（其中）

【方法技巧】

1．求三角函数值

(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．

(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．

2．同角三角函数基本关系式的应用

(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．

(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．

(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.