专题12 导数中的“距离”问题（解析版）.docx

专题12导数中的“距离”问题

【题型归纳目录】

题型一：曲线与直线的距离

题型二：曲线与点的距离

题型三：曲线与圆的距离

题型四：曲线与抛物线的距离

题型五：曲线与曲线的距离

题型六：横向距离

题型七：纵向距离

【典例例题】

题型一：曲线与直线的距离

例1．已知函数，若存在，使得，则实数的值是．

【解答】解：，

函数可看作动点与动点之间距离的平方，

动点在的图像上，在的图像上，

问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，

由，得，则，

故曲线上的点，到直线距离的最小值是，

则，根据题意若存在，使得，

则，此时恰为垂足，

由，故，解得：，

故答案为：．

例2．已知函数，若存在，使得，则实数的值为．

【解答】解：函数，

函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，

动点在函数的图象上，在直线的图象上，

问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，

由得，，解得，

所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，

则，

根据题意，要使，则，

此时恰好为垂足，由，解得．

故答案为：．

例3．若实数，，，满足，则的最小值为．

【解答】解：实数，，，满足，

，．

分别设，．

设直线与曲线相切于点，．

则，，解得，．

．

点到直线的距离．

则的最小值为．

故答案为：．

例4．设函数，其中，，存在使得成立，则实数的值是．

【解答】解：函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，

动点在函数的图象上，在直线的图象上，

问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，

由得，，解得，

曲线上点到直线的距离最小，最小距离，

则，

根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，

由可得

，实数的值是5

故答案为：5

例5．已知函数的最小值是，则的值是

【解答】解：函数

，

可得表示两点，的距离的平方，

即有函数，图象上的两点距离的最小值的平方为，

设直线与函数的图象相切，

设切点为，可得，解得，

即有切点为，

则，

解得，

则的值为0.3．

例6．设函数，其中，．若存在正数，使得成立，则实数的值是

A． B． C． D．1

【解答】解：函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，

动点在函数的图象上，在直线的图象上，

问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，

由得，，解得，

曲线上点到直线的距离，

则，

根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，

由，解得．

故选：．

例7．设函数，其中，，存在使得成立，则实数的最小值为

A． B． C． D．1

【解答】解：函数可以看作动点，与点的距离的平方，点在曲线上，点在直线上，问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，由求导可得，令，解得，此时，则，所以点到直线的距离即为直线与曲线之间最小的距离，故．

由于存在使得，则，即，

故选：．

例8．已知函数，若对任意的正实数，在上都是增函数，则实数的取值范围是

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：，

，

又对任意的正实数，在上都是增函数，

在上恒成立，

即在上恒成立，

的几何意义为动点到直线，即上点的距离的平方，

其最小值为．

令，，

当时，，当时，，

（1），则的最小值为．

实数的取值范围是．

故选：．

例9．已知实数，，，满足，则的最小值为

A． B．8 C．4 D．16

【解答】解：由题意可知，，，

的几何意义为曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方，

不妨设曲线，直线，设与直线平行且与曲线相切的直线方程为，

显然直线与直线的距离的平方即为所求，

由，得，设切点为，，

则，解得，

直线与直线的距离为，

的最小值为8．

故选：．

题型二：曲线与点的距离

例10．若点与曲线上点距离最小值为，则实数为

A． B． C． D．

【解答】解：设点坐标为，，其中，

，过点的切线斜率为，

当直线与过点的切线垂直时，点与点间的距离最小，此时，，

点与点间的距离最小值，

即，解得：，又，，

，

故选：．

例11．若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为

A． B． C． D．

【解答】解：的导数为，

设，可得过的切线的斜率为，

当垂直于切线时，取得最小值，

可得，

且，

可得，

解得舍去），

即有，解得，

，

故选：．

题型三：曲线与圆的距离

例12．已知点为函数的图象上任意一点，点为圆任意一点，则线段的长度的最小值为

A． B． C． D．

【解答】解：由圆的对称性可得只需考虑圆心，

到函数图象上一点的距离的最小值．

设图象上一点，

由的导数为，

即有切线的斜率为，

可得，

即有，

由，可得，

当时，，递增．

又（e），

可得处点到点的距离最小，且为，

则线段的长度的最小值为，即．

故选：．

例13．已知点为函数图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为

A． B．

C． D．

【解答】解：设，又圆的圆心为，