解密18 空间向量在立体几何中的应用（角和距离）（原卷版）.docx

解密18空间向量在立体几何中的应用（角/距离）

【考点解密】

考点一：空间角的向量法解法

角的分类

向量求法

范围

两条异面直线所成的角

设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)

eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))

直线与平面所成的角

设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))

两个平面的夹角

设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)

eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))

考点二：点P到直线l的距离

已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离为eq\r(a2－?a·u?2)(如图)．

考点三：点P到平面α的距离

设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如图)．

【核心题型】

题型一：空间向量求线面角/面面角

1．（2023·湖南邵阳·统考二模）如图所示，在矩形中，，，平面，且，点为线段（除端点外）上的动点，沿直线将翻折到，则下列说法中正确的是（????）

A．当点固定在线段的某位置时，点的运动轨迹为球面

B．存在点，使平面

C．点到平面的距离为

D．异面直线与所成角的余弦值的取值范围是

2．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）如图，在三棱柱中，是边长为的等边三角形，，，平面平面，为线段的中点．

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

3．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，点是线段上的动点.

(1)证明：平面平面；

(2)若点在线段上，，且异面直线与成30°角，求平面和平面夹角的余弦值.

题型二：空间向量求空间距离

4．（2023·宁夏银川·校联考一模）如图，圆锥SO的侧面展开图是半径为2的半圆，AB，CD为底面圆的两条直径，P为SB的中点.

(1)求证：平面PCD；

(2)当体积最大时，求S到平面PCD的距离.

5．（2023·全国·校联考模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，，D是棱PC的中点．

(1)求证：；

(2)若，求直线BC与平面ADB所成角的正弦值．

6．（2023秋·天津河北·高三统考期末）如图，垂直于梯形所在平面，，为的中点，，，四边形为矩形.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面的夹角的大小；

(3)求点到平面的距离.

题型三：空间线段点存在问题

7．（2023·河南焦作·统考模拟预测）如图1，在中，，，为的中点，为上一点，且.现将沿翻折到，如图2.

(1)证明：.

(2)已知二面角为，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.

8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为AC的中点，且．

(1)求证：；

(2)求点到侧面的距离；

(3)在线段上是否存在点，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．

9．（2021·天津静海·静海一中校考二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上（不包括端点），点为中点.

(1)若，求证：直线平面；

(2)求平面与平面的夹角的余弦值；

(3)是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【高考必刷】

一、单选题

10．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）在正方体中，为的中点，为线段上的点，且，则（????）

A．平面平面 B．平面平面

C．四点共面 D．与所成角的余弦值为

11．（2023·全国·模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面为矩形，，P，Q分别为圆柱上、下底面圆周上一点，，，则异面直线PQ与AB所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

12．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，，，直线AC1与平面A1B1C1所成角的正弦值为，则异面直线BA1与B1C所成角的余