专题14 多选压轴题-备战2024年广东新高考数学真题模拟题分类汇编（解析版）.docx

专题14多选压轴题

1．（2023?新高考Ⅰ）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有

A．直径为的球体

B．所有棱长均为的四面体

C．底面直径为，高为的圆柱体

D．底面直径为，高为的圆柱体

【答案】

【详解】对于，棱长为1的正方体内切球的直径为，选项正确；

对于，如图，

正方体内部最大的正四面体的棱长为，选项正确；

对于，棱长为1的正方体的体对角线为，选项错误；

对于，如图，六边形为正六边形，，，，，，为棱的中点，

高为0.01米可忽略不计，看作直径为1.2米的平面圆，

六边形棱长为米，，

所以米，故六边形内切圆直径为米，

而，选项正确．

故选：．

2．（2022?新高考Ⅰ）已知函数及其导函数的定义域均为，记．若，均为偶函数，则

A． B． C．（4） D．（2）

【答案】

【详解】为偶函数，可得，关于对称，

令，可得，即（4），故正确；

为偶函数，，关于对称，故不正确；

关于对称，是函数的一个极值点，

函数在，处的导数为0，即，

又的图象关于对称，，函数在，的导数为0，

是函数的极值点，又的图象关于对称，，关于的对称点为，，

由是函数的极值点可得是函数的一个极值点，，

进而可得，故是函数的极值点，又的图象关于对称，

，关于的对称点为，，，故正确；

图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值不是确定值，故错误．

解法二：构造函数法，

令，则，则，

，

满足题设条件，可得只有选项正确，

故选：．

3．（2021?新高考Ⅰ）在正三棱柱中，，点满足，其中，，，，则

A．当时，△的周长为定值

B．当时，三棱锥的体积为定值

C．当时，有且仅有一个点，使得

D．当时，有且仅有一个点，使得平面

【答案】

【详解】对于，当时，，即，所以，

故点在线段上，此时△的周长为，

当点为的中点时，△的周长为，

当点在点处时，△的周长为，

故周长不为定值，故选项错误；

对于，当时，，即，所以，

故点在线段上，

因为平面，

所以直线上的点到平面的距离相等，

又△的面积为定值，

所以三棱锥的体积为定值，故选项正确；

对于，当时，取线段，的中点分别为，，连结，

因为，即，所以，

则点在线段上，

当点在处时，，，

又，所以平面，

又平面，所以，即，

同理，当点在处，，故选项错误；

对于，当时，取的中点，的中点，

因为，即，所以，

则点在线的上，

当点在点处时，取的中点，连结，，

因为平面，又平面，所以，

在正方形中，，

又，，平面，

故平面，又平面，所以，

在正方体形中，，

又，，平面，所以平面，

因为过定点与定直线垂直的平面有且只有一个，

故有且仅有一个点，使得平面，故选项正确．

故选：．

4．（2023?深圳一模）如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，则

A．长度的最小值为

B．存在点，使得

C．存在点，存在点，使得

D．所有满足条件的动线段形成的曲面面积为

【答案】

【详解】依题意，延长正三棱台侧棱相交于点，取中点，中点，连接，，，如图，

则有，的延长线过点，且，，

过作，，则四边形是边长为1的菱形，

在中，，，

解得，，

是边长为3的等边三角形，

，，

，

是边长为3的等边三角形，且为中点，

，，

在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

解得，，，

，，，平面，

平面，，

由，，，可得平面，

与平面所成角的正切值为，

，解得，，

点在平面的轨迹为，，

对于，当点运动到与的交点时，有最小值，

四边形是边长为1，且的菱形，

，，故正确；

对于，要使得，由点必须落在平面与平面的交线上，且，

由题意得，在平面上不存在这样的点，故错误；

对于，当点运动到点时，连接，，于点，

连接，平面平面，平面，

又平面，平面平面，，

存在点，存在点，使得，故正确；

对于，设的长度为，则，

动线段形成的曲面那高两个面积相等扇形，设其中一个扇形的面积为，

则，

所有满足条件的动线段形成的曲面面积为，故正确．

故选：．

5．（2023?广州模拟）已知，，，则

A． B． C． D．

【答案】

【详解】对于选项，当时，．

设，其中．

则，故在上单调递增．

又（1），，则，使（b）．

即存在，，使．

但此时，．故错误．

对于选项，．设，

其中．则．

得在上单调递增．

注意到．

则．又在上递增，

则有．故正确．

对于选项，由选项可知，则由，

有．故正确．

对于选项，因，，，

则．设，其中．

则．

设，其中．则，

得在上单调递增．

（1）若，注意到，，则，使．即，

则，设，则，

得在上单调递减，则．

（2）当，，注意到，（1）．

则，此时．

（3）当，注意到，，

则，又由（1）分析可知在上单调递增．

则．

综上，有．故