专题01 玩转指对幂比较大小（解析版）.docx

专题01玩转指对幂比较大小

【方法技巧与总结】

（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小.

（2）指、对、幂大小比较的常用方法：

①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；

②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；

③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；

④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.

（3）转化为两函数图象交点的横坐标

（4）特殊值法

（5）估算法

（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

【题型归纳目录】

题型一：直接利用单调性

题型二：引入媒介值

题型三：含变量问题

题型四：构造函数

题型五：数形结合

题型六：特殊值法、估算法

题型七：放缩法

题型八：不定方程

【典例例题】

题型一：直接利用单调性

例1．（2022·江西·二模（文））已知，则a，b，c的大小关系是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

利用对数函数、三角函数、幂函数的单调性比较大小即可.

【详解】

，

因为在是单调递增函数，所以，

因为在是单调递增函数，所以

所以，

故选：C.

例2．（2022·陕西西安·一模（理））已知，，则a，b，c的大小关系是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据对数的性质比较大小

【详解】

先比较，易知,故，即

又，故时，时

故，而，故，有

故选：A

例3．（2022·河南·许昌高中高三开学考试（文））已知，，，则a，b，c的大小关系为（???????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用对数的运算可知，再利用对数函数的单调性可比较大小，进而得解.

【详解】

，，

，

又为定义域上的增函数，

所以.

故选：D

题型二：引入媒介值

例4．（2022·全国·高三专题练习）若，，，则、、的大小关系是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

根据对数函数的性质可得，，然后利用对数的运算化为同底并结合对数函数的单调性，可比较出的大小关系，分别与中间值比较，得出，分别与中间值比较，得出，综合即可选出答案.

【详解】

解：由题意，，，，

即，，

，

而，所以，

，而，

即，

又，，

而，则，即，

同理，，，

而，则，即，

综上得：，

所以.

故选：D.

例5．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））已知实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

分别求出，，的大致范围，即可比较，，的大小.

【详解】

由题意得，，故；

，

因，根据对勾函数得，因此；

由勾股数可知，又因且，故；

因此.

故选：C.

例6．（2022·广东茂名·模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系是(???????)

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

判断sin2和的大小，比较a与、b与、c与的大小可判断a与b大小关系及b与c大小关系，判断a与、c与的大小可判断a与c大小关系，从而可判断a、b、c大小关系．

【详解】

，

，即b，∴ab；

∵，，∴，；

∵，，，；

．

故选：D．

【点睛】

本题关键是利用正弦函数的值域求出sin2的范围，以和两个值作为中间值，比较a、b、c与中间值的大小即可判断a、b、c的大小．

例7．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

先由题，易知，而，再将b，c作商，利用对数的运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案.

【详解】

因为，故

所以，即

故选D

【点睛】

本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属于中档偏上题型.

例8．（2022·北京通州·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据指数函数、对数函数的性质判断即可；

【详解】

解：因为，即，

又，即，

所以，即，

综上可得，

故选：A

题型三：含变量问题

例9．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，，则的大小关系为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

由已知构造函数，可得的图象关于直线对称.再求导，运用导函数的正负研究函数的单调性，最后由角的范围得出三角函数的范围可得选项.

【详解】

由题可设，因为，所以的图象关于直线对称.

因为，当时，，所以，，，所以，所以在上单调递增，

由对称性可知在上单调递减.因为，所以，所以；

又，，由对称性可知，且，因为，