专题05：含参不等式恒成立问题解题策略-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（原卷版）.docx

专题05：含参不等式恒成立问题解题策略

精讲温故知新

三个两次之间的关系

含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。

一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有

1）对恒成立;

2）对恒成立

例1：若不等式的解集是R，求m的范围。

举一反三

1．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（???????）

A． B． C．或 D．或

二、最值法

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：

1）恒成立

2）恒成立

例2、若时，不等式恒成立，求的取值范围。

举一反三

关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．

三、分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：

1）恒成立

2）恒成立

例3、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。

举一反三

若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

四、变换主元法

处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

例4．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。

举一反三

当时，不等式恒成立，求的取值范围．

分类讨论法

处理含参不等式恒成立的某些问题时，有些时候需要对参数进行讨论。

例5．若不等式对一切都成立，则a的最小值为（???????）

A．0 B． C． D．

举一反三

若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.

六、数形结合法

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：

1）函数图象恒在函数图象上方；

2）函数图象恒在函数图象下上方。

例6．设,,

若恒有成立,求实数的取值范围.

举一反三

设，当时，恒成立，求实数的取值范围。

精练巩固提升

一、单选题

1．不等式恒成立，则的取值范围为（?????）

A． B．或

C． D．

2．若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（???????）

A．[0,4] B．[0,4)

C．(0,4) D．

3．一元二次不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

4．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（???????）

A． B．

C． D．

5．已知函数的图象都在轴的上方，求实数的取值范围(???????)

A． B．

C． D．

6．若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（???????）

A． B． C． D．

7．关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围是（???????）

A． B．

C． D．

8．关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（???????）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．恒成立，a的值可以为（???????）

A． B． C． D．4

10．已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的可能取值为（???????）

A． B． C．3 D．2

三、填空题

11．不等式的解集为，则的取值范围是_________.

12．命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋10恒成立.若命题p为真，求a的范围___________________.

13．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是__________.

14．若，则的取值范围为___________.

四、解答题

15．关于实数x的不等式．

(1)若，求该不等式解集；

(2)若该不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．