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灰色系统理论

主要介绍灰色系统理论的根本概念与根本原理，

重点介绍灰色关联分析方法和灰色系统模型——

GM(1,1)模型。

目标不在于讨论灰色系统理论的理论根底，而

是在于掌握一种数学建模的思想、方法和技巧。

如有同学对该理论的理论根底该兴趣，我们可

以课下讨论。

一、灰色系统的根本概念与根本原理

灰色系统理论是华中科大邓聚龙教授于

1982年创立的一种研究少数据、贫信息不确定性

问题的新方法。

概率统计、模糊数学和灰色系统理论是三种

最常用的不确定性系统研究方法。

概率统计研究的是“随机不确定”现象,着

重于考察随机不确定现象的历史规律。其出发点

是大样本，并要求对象服从某种典型分布。

模糊数学着重研究“认知不确定”问题,其研究

对象具有“内涵明确、外延不明确”的特点。例如，

“年轻人”，“有钱”。

灰色系统理论着重研究“小样本,贫信息”认知

不确定问题，其研究对象具有“外延明确、内涵不

明确”的特点。

例如，“8万到10万之间”就是一个灰概念，

其外延明确，但内涵不清楚。

1.灰色系统的根本概念

灰色系统中“灰色”的根本含义是指信息不完

全，包括元素信息不完全；结构信息不完全；边界

信息不完全；运行行为信息不完全。

2.灰色系统的根本原理

目前灰色系统理论的理论体系很不完善，但

是，邓聚龙发现并提炼了灰色系统理论的根本原

理：

公理1差异信息原理——差异是信息，凡

信息必有差异；

公理2解的非唯一原理——信息不完全、

不确定的解是不唯一的；

公理3最少信息原理——充分利用已有的最

小信息；

公理4认知根据原理——信息是认知的根据；

公理5新信息优先原理——新信息对认知的作

用优于老信息；

公理6灰性不灭原理——信息不完全(灰)是绝

对的。

3.灰数及其运算

1.灰数：只知道大概范围而不知道其确切的数，通常记

为：。

灰数的种类：

a、仅有下界的灰数。

有下界无上界的灰数记为：∈[a,∞]

b、仅有上界的灰数。

有上界无下界的灰数记为：∈[-∞,b]

c、区间灰数

既有上界又有下界的灰数：∈[a,b]

d、连续灰数与离散灰数

在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰数，取

值连续地取满整个区间地灰数称为连续灰数。

e、黑数与白数

当∈(-∞,∞)，即当的上界、下界皆为无穷，称

为黑数，当∈[a,b]且a=b,时，称为白数。

f、本征灰数与非本征灰数

本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为

其“代表”的灰数；非本征灰数是凭借某种手段，

可以找到一个白数作为其“代表”的灰数。

从本质上看，灰数可分为信息型、概念型和层次型灰

数。

2、区间灰数的运算。

设灰数1∈[a,b],2∈[c,d](ab,cd)

①1+2∈[a+c,b+d]

②-1∈[-b，-a]

③∈

1-2=1+(-2)[a-d,b-c]



a

④假设ab0,那么1-1∈[1/b,1/a]

⑤1·2∈[min{ac,ad,bc,bd},max{ac,ad,bc,bd}]

⑥假设cd0,那么

1/2=1·2-1

∈[min{a/c,a/d,b/c,b/d},max{a/c,a/d,b/c,b/a}]

⑦假设k为正实数

那么：~∈

k1a[k(a1,kb)b],(0,1)

1

定义：形如的白化称为等权白化。

2

定义：在等权白化中而得到的白化值称为等权均

值白化。

定义：设区间灰数1∈[a,b],2∈[c,d](ab,cd)

~

