《MATLAB7 基础教程》课件第4章.pptx

4.1矩阵与线性代数

4.2多项式与插值

4.3快速傅里叶变换4.4函数的函数

4.5求解微分方程4.6稀疏矩阵

4.1矩阵与线性代数

4.1.1矩阵分析

MATLAB提供的矩阵分析函数如表4-1所示。

函数

描述

norm

向量或矩阵的范数

normest

估计矩阵的2-范数

rank

矩阵的秩

det

行列式

trace

矩阵的对角元素之和

null

化零矩阵

orth

正交化

rref

矩阵的约化行阶梯形

subspace

两个子空间的夹角

表4-1矩阵分析函数

1.向量和矩阵的范数

对于一个n维向量，可以用一个数|x|来度量该n维向量的大小。如果||x||满足以下三个性质，则称|x1|为向量x的范数。

●非负性：对于一切x都有

||x||0,且||x||=0的充要条件是x=0(4-1)

●正齐性：对任何实数α和向量x,有

||ax||=|a|||x|l(4-2)

●三角不等式：对任何向量x和y,有

||x+y|l≤||x||+llyll4-3)

显然，满足以上三个条件的函数有很多种，如果定义：

Q{(x)=|x₁I+|x₂|+…+|x。I(4-4)

φ₂(x)=(|x₁I²+|x₂I²+…+|xP)¹2(4-5)

(4-6)由于式(4-4)、(4-5)和(4-6)都满足范数的三个性质，因此

它们都是n维向量x的范数。将φ₁(x)、φ₂(x)和φ(x)分别称为向量x的1-范数、2-范数和-范数，并分别用记号|x|l、

|l×1l₂和||x|00来表示。另外，记号|lx|泛指向量的范数。

对于一个矩阵A,相应的矩阵范数||AI|应当对一切n阶矩

阵A和一切n维向量x满足

(4-7)

满足式(4-7)的矩阵范数称为与向量范数相容的范数。如

果以||A|l、|IAll₂和|A||分别表示与向量的1-范数、2-范数和○-范数相容的矩阵范数，那么对于n阶矩阵A=(a;j),有

(4-8)

A|₂=(ATA的的最大特征)

(4-9)

(4-10)

MATLAB中，常用norm函数计算向量或矩阵的1-范数、

2-范数和○-范数，其调用格式为norm(x,p)或norm(A,p),作用是计算向量x或矩阵A的p-范数。其中，p为1、2或inf。命令norm(x)或norm(A)相当于命令norm(x,2)或norm(A,2),而

normest(A)实现矩阵A的

2-范数的快速估算。

【例】求向量的1-范数、2-范数和o-范数。在命令窗输入：

x=[123];

[norm(x,1),norm(x,2),norm(x,inf)]

运行结果：

ans=

6.00003.74173.0000

【例】求矩阵的1-范数、2-范数和o-范数。在命令窗输入：

A=[123

456

789];

[norm(A,1),norm(A,2),norm(A,inf)]

运行结果：

ans=

18.000016.848124.0000

2.矩阵的秩

对于一个矩阵A,如果A=0,则A的秩为零；如果A≠0,则称A中非零子式的最高阶数为A的秩。MATLAB中常用命令rank(A)来以默认允许误差计算矩阵A的秩，而用命令

rank(A,tol)来以给定容许误差tol计算矩阵的秩。

【例】求矩阵的秩。

在命令窗输入：

A=[123

456

789];

rank(A)

运行结果：

ans=

2

3.矩阵的行列式

当矩阵A为方阵时，可以利用命令det(A)来计算A的行列式。MATLAB中行列式的计算是通过高斯消去法先实现矩阵的LU分解，然后再计算下三角矩阵L和上三角矩阵U的行列式之积(对角线元素之积),即A的行列式。

6

7

det(A)运行结果：

ans=

-39

【例】求矩阵的行列式。

在命令窗输入：

A=[13

2

4

9];

5

8

4.矩阵的迹

矩阵的迹定义为主对角线的元素之和。无论矩阵是否为方阵，MATLAB中都可以用命令trace(A)来计算矩阵A的迹。

【例】求矩阵的迹。

在命令窗输入：

A=[132

654];

trace(A)

运行结果：

ans=

6

5.化零矩阵

矩阵A的化零矩阵Z满足A*Z的元素近似为零，并且

Z‘*Z=I。MAT