北京市西城区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷【含答案解析】.docx

北京市西城区2024—2025学年度第一学期期末试卷

高二数学

2025.1

本试卷共6页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知直线经过两点，那么直线的斜率为（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据斜率公式求得直线的斜率.

【详解】依题意，直线的斜率为.

故选：C

2.双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出的值，即可求出该双曲线的离心率的值.

【详解】对于双曲线，，，则，

因此，该双曲线的离心率为.

故选：C.

3.已知椭圆的一个焦点与抛物线（）的焦点重合，则等于（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由得出抛物线的焦点在轴的正半轴，从得出抛物线与椭圆的右焦点重合，求出椭圆的右焦点，即可得出抛物线的焦点，从而得解.

【详解】因为抛物线的焦点在轴的正半轴，

所以抛物线焦点与椭圆的右焦点重合，

又椭圆方程为，所以，所以

所以椭圆的右焦点为，所以抛物线焦点也是这个，

即

故选：C

4.在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量共线即可求解.

【详解】由于，

由于三点共线，所以，解得，

故,

故选：A

5.的展开式中的系数为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可.

【详解】对于，由二项展开式的通项得，

令解得，

则所求系数为，

故选：D

6.正四棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成角的余弦值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】作出辅助线，证明线面垂直，得到线线垂直，得到即为侧面与底面所成角，求出各边长，得到.

【详解】连接相交于点，取的中点，连接，，，

则⊥平面，

因为平面，所以⊥，

又，⊥，所以⊥，

又，平面，

所以⊥平面，

因为平面，所以⊥，

故即为侧面与底面所成角，

正四棱锥的所有棱长均为2，故，

由勾股定理得，

由，

故.

故选：D

7.从数字中，可重复地取出3个数字，组成各位数字之和等于6的三位数，这样的三位数的个数为（）

A.6 B.8 C.10 D.12

【答案】C

【解析】

【分析】分别讨论和为6的情况，再结合排列组合概念即可求解；

【详解】三个数字和为6的情况有：222,114,123，

对于3个2的排列只有1个；

对于1，1，4的排列由个，

对于1，2，3的排列有个，

所以这样的三位数有10个，

故选：C

8.已知直线，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】将直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线只有一个公共点求出的取值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】联立，可得（*），

当直线与双曲线只有一个公共点时：

若时，即当时，方程（*）即为，解得，合乎题意；

若时，直线与双曲线相切时，则，

解得，

所以当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，的取值集合为，

因此，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件.

故选：A.

9.在平面直角坐标系中，已知点，，若点为圆上的动点，则的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】设为圆上任意一点，利用向量的坐标运算得，进而利用的几何意义可求得的最大值.

【详解】设为圆上任意一点，

因为，，所以，，

所以，所以，

表示点到点的距离，

又的圆心到点的距离为，

又圆的半径为，

所以到点的距离的最大值为，

所以的最大值为.

故选：D.

10.在正方体中，动点在面及其边界上运动，，则动点的轨迹为（）

A.椭圆的一部分 B.线段

C.圆的一部分 D.抛物线的一部分

【答案】D

【解析】

【分析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，由结合空间数量积的坐标运算化简得出点的轨迹方程，即可得出结论.

【详解】设正方体的棱长为，

以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、，设点，

，，

，

化简得，

所以，动点的轨迹方程为抛物线的一部分.

故选：D.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.已知直线与垂直，那么_____