数学分析7.3上极限和下极限.doc

第七章实数的完备性

3上极限和下极限

定义1：若在数a的任一邻域内含有数列{xn}的无限多个项，则称a为{xn}的一个聚点.

注：点列（或数列）的聚点邻域中可以包含无限个相同的项；而点集（或数集）的聚点邻域中只能包含无限个不同的项。

定理7.4：有界点列(数列){xn}至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点.

证：∵{xn}为有界数列，∴存在M0，使得|xn|≤M，记[a1,b1]=[-M,M].

将[a1,b1]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{xn}中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a2,b2]，则

[a1,b1]?[a2,b2],且b2-a2=(b1-a1)=M.[a2,b2]含有{xn}中无穷多个项；

将[a2,b2]等分成两个子区间，若右边的子区间含有{xn}中无穷多个项，则取右边的区间，否则取左边的区间为[a3,b3]，则

∴[a2,b2]?[a3,b3],且b3-a3=(b2-a2)=.[a3,b3]含有{xn}中无穷多个项；

依此规律，将等分区间无限进行下去，可得区间列{[an,bn]}满足

[an,bn]?[an+1,bn+1],且bn-an=→0(n→∞)，即{[an,bn]}是区间套，且

每一个闭区间都含有{xn}中无穷多个项，而

其右边至多只有{xn}中有限多个项.

由区间套定理，存在唯一的一点ξ，使得ξ∈[an,bn],n=1,2,….

又对任给的ε0，存在N0，使得当nN时有[an,bn]?U(ξ;ε)，

∴U(ξ;ε)内含有{xn}中无穷多个项，∴ξ为{xn}的一个聚点.

若ξ为{xn}的唯一的聚点，则ξ同时为{xn}的最大聚点和最小聚点.

若{xn}有聚点ζξ，则令δ=(ζ-ξ)0，在U(ζ,δ)内含有{xn}中无穷多个项，

且当n充分大时，U(ζ,δ)将落在[an,bn]的右边，矛盾。

∴ξ为{xn}的最大聚点.

同理，在取区间列{[an,bn]}时，优先挑选左边的子区间，则

最后得到的聚点为{xn}的最小聚点.

定义2：有界数列(点列){xn}的最大聚点与最小聚点分别称为{xn}的上极限与下极限，记作：=xn，=xn.

例1：(-1)n=1，(-1)n=-1；sin=1，sin=-1；==0.

定理7.5：对任何有界数列{xn}有.xn≤xn.

定理7.6：xn=A的充要条件是：xn=xn=A.

定理7.7：设{xn}为有界数列，则

1、为{xn}上极限的充要条件是：任给ε0，

(1)存在N0，使得当nN时，有xn+ε；

(2)存在子列{x},x-ε，k=1,2,….

2、为{xn}下极限的充要条件是：任给ε0，

(1)存在N0，使得当nN时，有xn-ε；

(2)存在子列{x},x+ε，k=1,2,….

证：1、[必要性]∵是{xn}的聚点，∵对任给的ε0，

在U(,ε)内含有{xn}中无穷多项，设为{x}，则有x-ε，k=1,2,….

又是{xn}的最大聚点，∴在+ε的右边至多只有{xn}的有限个项，

设此有限项的最大下标为N，则当nN时，有xn+ε.

[充分性]任给的ε0，由条件(1)和(2)可知，

在U(,ε)内含有{xn}中无穷多项，∴是{xn}的一个聚点.

又设a.记ε=(a-)，则由条件(1)可知，

在U(a,ε)内至多只有{xn}的有限个项，∴a不是{xn}的聚点，即

是{xn}的最大聚点.

2、同理可证。

定理7.7’：设{xn}为有界数列，则

1、为{xn}上极限的充要条件是：对任何a，{xn}中大于a的项至多有限个；对任何b，{xn}中大于b的项有无限多个.

2、为{xn}下极限的充要条件是：对任何b，{xn}中小于b的项至多有限个；对任何a，{xn}中小于a的项有无限多个.

定理7.8：(上、下极限的保不等式性)设有界数列{an},{bn}满足：

存在N00，当nN0时有an≤bn，则an≤bn，an≤bn.

特别地，若m,M为常数，又存在N00，当nN0时有m≤an≤M，则

m≤an≤an≤M.

证：设an=a,bn=b，若ab，取ε=0，则

{an}中大于a-ε=a-=b+=b+ε的项有无限多个.

∵bn≥an，∴{bn}中大于b+ε的项有无限多个，与bn=b矛盾，

∴a≤b，即an≤bn.同理可证an≤bn.

又m=m≤an≤an≤M=M，即m≤an≤an≤M.

例2：设{an},{bn}为有界数列.证明：(an+bn)≤an+bn.

证：设an=A，bn=B，则对任给的ε0，存在N0，使当nN时，

有anA+，bnB+；∴an+bnA+B+ε.由上极限的保不等式性得

(an+bn)A+B+ε.由ε的任意性得(an+bn)≤A+B=an+bn.

定理7.9：设{xn}为有界数列，则

1、为{xn}