《概率论与数理统计及其MATLAB实现（微课版）》 习题及答案 第5章 .doc

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习题5.1

1.设在每次实验中，事件发生的概率为0.75，利用切比雪夫不等式估计在1000次独立试验中，发生的次数在700-800之间的概率.

【解】设发生的次数为，则，

所求概率为：

.

2.假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？

【解】令

而至少要生产n件，则i=1,2,…,n,且

X1，X2，…，Xn独立同分布，p=P{Xi=1}=0.8.

现要求n,使得

即

由中心极限定理得

整理得查表

n≥268.96,故取n=269.

习题5.2

1.某车间有同型号机床200台，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.

【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m，而m要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m的概率为95%,于是我们只要供应15m单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目，则X~B（200，0.7）,

查表知,m=151.

所以供电能151×15=2265（单位）.

2.一加法器同时收到20个噪声电压Vk（k=1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V=，求P{V＞105}的近似值.

【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=,k=1,2,…,20

由中心极限定理知，随机变量

于是

即有P{V105}≈0.348

3.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？

【解】设100根中有X根短于3m，则X~B（100，0.2）

从而

4.某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.

（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？

（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？

【解】

令

(1)X~B(100,0.8)，

(2)X~B(100,0.7)，

5.用拉普拉斯中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.

【解】令1000件中废品数X，则

p=0.05,n=1000,X~B(1000,0.05)，

E(X)=50，D(X)=47.5.

故

6.设有30个电子器件.它们的使用寿命T1，…，T30服从参数λ=0.1[单位：]的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率.

【解】

故

7.上题中的电子器件若每件为a元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）.

【解】设至少需n件才够用.则E(Ti)=10，D(Ti)=100，

E(T)=10n，D(T)=100n.

从而即

故

所以需272a元.

8.对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.

（1）求参加会议的家长数X超过450的概率？

（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.

【解】（1）以Xi(i=1,2,…,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为

Xi

0

1

2

P

0.05

0.8

0.15

易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,…,400.

而,由中心极限定理得

于是

(2)以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得

9.设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？

【解】用X表1000