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安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024-2025学年高三下学期开学考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设集合，，则（???）

A． B． C． D．

2．若向量，的夹角为，且，，则（????）

A． B．2 C．4 D．3

3．有5项不同的任务安排给甲，乙，丙三人完成，每人至少完成一项且每项任务只安排一人完成，则分配给甲的任务不超过两项的安排方法有（????）

A．260种 B．220种 C．160种 D．130种

4．三棱锥中，，为中点，且，，和均为面积为的锐角三角形，则当三棱锥的体积取得最大值时，（????）

A． B． C． D．

5．费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光学性质.例如，点为双曲线为焦点）上一点，点处的切线平分.已知双曲线：为坐标原点，点处的切线为直线，过左焦点作直线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（????）

A．2 B． C． D．

6．已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为(????).

A． B． C． D．

7．已知数列满足，，，设，则数列的前21项和为（????）

A． B． C． D．

8．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（????）

A．30 B．14 C．12 D．6

二、多选题

9．已知虚数满足，则（????）

A．的实部为 B．的虚部为

C． D．可能为纯虚数

10．如图所示，棱长为的正方体中，点是棱的中点，则下列结论中正确的是（????）

A．点到平面的距离是到平面的距离的倍

B．若点平面，且与所成角是，则点的轨迹是双曲线的一支

C．三棱锥的外接球的表面积为

D．若线段，则的最小值是

11．在年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（????）

A．开口向上的抛物线的方程为

B．

C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为

D．阴影区域的面积不大于

三、填空题

12．的展开式中，的系数为．

13．已知直线与曲线相切，则直线的方程为：.

14．在平面直角坐标系xOy中，射线，，半圆C：.现从点向上方区域的某方向发射一束光线，光线沿直线传播，但遇到射线、时会发生镜面反射.设光线在发生反射前所在直线的斜率为k，若光线始终与半圆C没有交点，则k的取值范围是.

四、解答题

15．已知函数，曲线在点处的切线为.

（1）求，的值；

（2）若对任意的，恒成立，求正整数的最大值.

16．高中数学标准化考试选择题分为单项选择和多项选择两种题型，按照现行评分标准，多项选择题一般从四个选项中选出所有正确的选项（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个正确选项的每个正确选项3分，三个正确选项的每个正确选项2分），有选错的得0分.

(1)考生甲有一道正确选项为两个选项的多项选择题不会做，他随机挑选两个选项，求他猜对本题得6分的概率；

(2)考生乙有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他得到分数的分布列和期望；

(3)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为；丙，丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率.

17．如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱，点、分别在侧棱、上，且.

(1)求平面与平面夹角的余弦值；

(2)已知为底面的中心，在上是否存在点，使得平面？若存在，求出；若不存在，请说明理由.

18．已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆相切于点．

（ⅰ）证明：直线与直线的斜率之积为定值；

（ⅱ）设椭圆的右焦点关于的对称点为，求证：直线过定点．

19．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①存在，使得；②为单调数列，则称数列具有性质，注：若数列的各项满足（或，则称数列为递增（递减数列）.递增或递减的数列统称为单调数列.

(1)若，判断数列是否具有性质，并说明理由；

(2)已知离散型随机变量服从二项分