高三数学大题规范训练(3)(解析版).docxVIP

高三数学大题规范训练（3）

15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．

（1）证明：；

（2）记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状．

【答案】（1）证明见解答；

（2）直角三角形.

【解答】

【分析】（1）利用正弦定理计算即可；

（2）利用正弦定理及（1）的结论证明即可.

【小问1详解】

因为，由正弦定理得，，

整理可得，，

又，

于是，即，

因为，所以，

所以或（舍去），

所以；

【小问2详解】

根据等面积法可知，即，

由，可得，

又由及正弦定理可得，，

解得，

由于，所以，

所以，所以是直角三角形.

16.已知函数，其中.

（1）求函数的单调区间；

（2）对任意，都有，求实数的取值范围.

【答案】（1）函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）的取值范围是

【解答】

【详解】试题分析：（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求解函数的单调区间；

（2）对于任意，都有，转化为，多次构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值可求函数求实数的取值范围.

试题解答：（1）函数的定义域为(0,+∞)，

函数的导数，

因为，

所以当时，，此时，函数在上单调递减，

当时，，此时，函数在上单调递增，

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

（2）当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递减，

所以对任意的，都有，

因为对任意的，都有，

所以，即，得，

所以当时，对于任意的，都有，

当时，，由（1）得在上单调递增，

所以对于任意，有，

因对于任意，都有，

所以，即，

设，则，

设，

则，所以在上单调递减，

则当时，，

此时不等式不成立，

综上，所求的取值范围是.

小结：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的极值与最值等知识点的运用，解答中转化为函数的最值之间的关系是解答的关键，着重考查学生的推理与运算能力，综合性强，属于中档试题.

17.如图，在中，，，．将绕旋转得到，，分别为线段，的中点．

（1）求点到平面的距离；

（2）求平面与平面所成锐角的余弦值．

【答案】（1）

（2）

【解答】

【分析】（1）作，垂足为，由线面垂直的判定得平面，可得点到平面的距离为的长度，求解即可；

（2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式计算即可．

【小问1详解】

因为，将绕旋转得到，

所以，又平面，

所以平面，

取中点，连接，作，垂足为，

因为，点为中点，

所以，

又，平面，

所以平面，

因为平面，所以，

又因为，平面，

所以平面，即点到平面的距离为的长度，

因为平面，平面，

所以，

因为是边长为2的等边三角形，所以，

又，所以，

所以．

【小问2详解】

以点为坐标原点，所在直线为轴，以过点，垂直于平面的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，

则，

所以，

设平面的法向量为，

可得，即，取，则，

取中点，连接，

由等腰得，，则，由（1）得平面，

所以为平面的一个法向量，

设平面与平面所成夹角为，

则

所以平面与平面所成锐角的余弦值为．

18.已知双曲线：过点，离心率为.

（1）求的方程；

（2）过点且斜率为的直线交双曲线左支于点，平行于的直线交双曲线的渐近线于A，B两点，点A在第一象限，直线的斜率为.若四边形为平行四边形，证明：为定值.

【答案】（1）

（2）证明见详解

【解答】

【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合代入法进行求解即可；

（2）设直线的方程为，直线的方程为，，将代入直线可得，联立直线与椭圆方程得关于的一元二次方程，由韦达定理得；联立方程和渐近线方程求出，得到，由题易得，即，联立求出的关系式，再由定义表示出，将所有未知量全部代换成即可求证.

【小问1详解】

因为双曲线：过点，离心率为，

所以有；

小问2详解】

设直线的方程为，

直线的方程为，，

将代入直线得，即，

联立，得，

得，即，，

因为在第一象限，双曲线渐近线方程为，

联立，得，即，

联立，得.即，

所以，

因为，所以，所以①，

又②，

①②得，，

所以，

所以，

因为

所以，为定值.

【小结】方法小结：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；

（5）代入韦达定理求解.

19.夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若前一天选择绿豆汤，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而前一天选择银耳羹，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．

（1）求该同学第2天选择绿豆汤的概率