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高三数学大题规范训练（5）

1.如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，底面，分别为侧棱的中点，点在上且．

（1）求证：四点共面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

2.已知函数，其中为常数.

（1）过原点作图象的切线，求直线的方程；

（2）若，使成立，求的最小值.

3.已知椭圆（），四点，，，中恰有三点在椭圆C上．

（1）求椭圆C的方程；

（2）椭圆C上是否存在异于的两点M，N使得直线与的斜率之和与直线MN的斜率（不为零）的2倍互为相反数？若存在，请判断直线MN是否过定点；若不存在，请说明理由．

4.2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛

（1）初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对题目个数为，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；

（2）大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立.

（i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值；

（ii）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围.

5.对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.

（1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由；

（2）设数列是首项为、公差为等差数列，若该数列是数列，求的取值范围；

（3）设无穷数列是首项为、公比为的等比数列，有穷数列，是从中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为，，求是数列时与所满足的条件，并证明命题“若且，则不是数列”.