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高三数学大题规范训练（10）

15.若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式;

（2）设，记数列前项和为，证明:.

16.如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.

（1）证明：；

（2）若M是棱BC上的点，且满足，求二面角的余弦值.

17.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；

(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，.)

（2）（i）从样本质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；

（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.

18.已知动圆与圆：和圆：都内切，记动圆圆心的轨迹为.

（1）求方程；

（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：.试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，.

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记，的面积分别为，，求的取值范围.

19.若函数的定义域为，有，使且，则对任意实数k，b，曲线与直线总相切，称函数为恒切函数.

（1）判断函数是否为恒切函数，并说明理由；

（2）若函数为恒切函数.

（i）求实数的取值范围；

（ii）当取最大值时，若函数为恒切函数，记，证明：.

（注：是自然对数的底数.参考数据：）