高三数学大题规范训练(14)(解析版).docxVIP

高三数学大题规范训练（14）

15.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面与相交于点，点在上，．

（1）证明：平面；

（2）若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求．

【答案】（1）证明见解答

（2）

【解答】

【分析】（1）通过证明，即可证明平面；

（2）建立空间直角坐标系，由（1）知平面，即可得，再求平面和平面的法向量即可求出.

【小问1详解】

底面是菱形，，

平面，且平面，.

又，平面,平面，

平面，，又，且平面，，

平面，平面，，

，，即，又平面，

且，平面．

【小问2详解】

以为原点，以为轴，为轴，过点且平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则

，

,,又,

在中由勾股定理得,

即,.

，，

，，平面，

与平面所成的角为，平面，

是平面的一个法向量，平面，平面，

平面平面，设，只需，则平面，

则，

令，则，

，.

16.某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：

科普测试成绩x

科普过程性积分

人数

4

10

3

a

2

b

1

23

0

2

（1）当时，

（i）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；

（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望；

（2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为.若根据表中信息能推断恒成立，直接写出a的最小值.

【答案】（1）（i）；（ⅱ）；

（2）7.

【解答】

【分析】（1）（i）求出科普过程性积分不少于3分的学生数，再求出频率，并用频率估计概率即得；（ⅱ）求出X的所有可能值，由（i）的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率，再求出期望即得.

（2）求出的最大值，再求出100名学生科普测试成绩的平均值的最小值，由题设信息列出不等式求解即得.

【小问1详解】

当时，

（i）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为，

则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为，

所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为.

（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为，

所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为，

同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为，

的所有可能值为6，7，8，

，，，

所以的数学期望.

【小问2详解】

由表知，，则，

从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为，则的最大值为69，

100名学生科普测试成绩的平均值记为，要恒成立，当且仅当，

显然的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，

因此，则，解得，

所以根据表中信息能推断恒成立的a的最小值是7.

17.已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）若函数存在最大值，求的取值范围.

【答案】（1）的增区间为，减区间为

（2）

【解答】

【分析】（1）对函数求导，得到，再求出和对应的取值，即可求出结果；

（2）令，对求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而得出在上取值范围，从而将问题转化成成立，构造函数，再利用的单调性，即可求出结果.

【小问1详解】

易知定义域为，因为，所以，

由，得到，当时，，当时，，

所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

【小问2详解】

令，则，

由（1）知，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以在时取得最大值，

所以当时，，当时，，

即当时，，

所以函数在存在最大值的充要条件是，

即，

令，则恒成立，

所以是增函数，又因为，

所以的充要条件是，

所以的取值范围为.

【小结】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数，利用函数单调性得到时，，从而将问题转化成，构造函数，再利用的单调性来解决问题.

18.已知圆，直线过点且与圆交于点B，C，BC中点为D，过中点E且平行于的直线交于点P，记P的轨迹为Γ

（1）求Γ的方程；

（2）坐标原点O关于，的对称点分别为，，点，关于直线的对称点分别为，，过的直线与Γ交于点M，N，直线，相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明.

①的面积是定值；②的面积是定值：③的面积是定值.

【答案】（1）

（2）结论③正确，证明见解答

【解答】

【分析】（1）由几何性质知P到，两点的距离之和为定值可得P的