2025《衡中学案》高考一轮总复习 数学提能训练　练案[15]含答案.doc

2025《衡中学案》高考一轮总复习数学提能训练练案[15]含答案提能训练练案[15]

A组基础巩固

一、单选题

1．已知函数f(x)＝eq\f(1,x)cosx，则f(π)＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝(C)

A．－eq\f(3,π2) B．－eq\f(1,π2)

C．－eq\f(3,π) D．－eq\f(1,π)

[解析]f(π)＝eq\f(－1,π)，f′(x)＝eq\f(－xsinx－cosx,x2)，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,π)，∴f(π)＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(3,π).故选C．

2．函数f(x)＝x(ex－1)＋lnx的图象在点(1，f(1))处的切线方程是(A)

A．y＝2ex－e－1 B．y＝2ex－e＋1

C．y＝2ex＋e－1 D．y＝2ex＋e＋1

[解析]由函数f(x)＝x(ex－1)＋lnx知f(1)＝e－1，f′(x)＝ex－1＋xex＋eq\f(1,x)，所以切线的斜率k＝f′(1)＝2e，在点(1，f(1))处的切线方程是y－(e－1)＝2e(x－1)，化简得y＝2ex－e－1.故选A．

3．函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为(B)

[解析]由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)0.

4．(2023·衡水中学调研卷)设a∈R，函数f(x)＝ex＋eq\f(a,ex)是偶函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是eq\f(3,2)，则切点的横坐标为(C)

A．a B．e

C．ln2 D．1

[解析]由f(x)为偶函数，易得a＝1.

∴f(x)＝ex＋e－x，f′(x)＝ex－e－x，

设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝eq\f(3,2)，解得x0＝ln2.

5．已知直线y＝ax是曲线y＝lnx的切线，则实数a＝(C)

A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,2e)

C．eq\f(1,e) D．eq\f(1,e2)

[解析]设切点坐标为(x0，lnx0)，由y＝lnx的导函数为y′＝eq\f(1,x)知切线方程为y－lnx0＝eq\f(1,x0)(x－x0)，即y＝eq\f(x,x0)＋lnx0－1.由题意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,x0)，,lnx0－1＝0，))解得a＝eq\f(1,e).

6．函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(A)

A．2f′(2)f(4)－f(2)2f′(4)

B．2f′(4)2f′(2)f(4)－f(2)

C．2f′(2)2f′(4)f(4)－f(2)

D．f(4)－f(2)2f′(4)2f′(2)

[解析]先由f(x)的图象，确定f(x)的单调性，再根据图象斜率的变化情况，判断f′(x)的单调性，最后由函数的凹凸性进行判断，即可得到答案．由函数f(x)的图象可知，当x≥0时，f(x)单调递增，所以f′(2)0，f′(4)0，f(4)－f(2)0，由此可知，f′(x)在(0，＋∞)上恒大于0，因为直线的斜率逐渐增大，所以f′(x)单调递增，所以f′(2)f′(4)，则2f′(2)2f′(4)，因为f′(2)eq\f(f?4?－f?2?,4－2)f′(4)，所以2f′(2)f(4)－f(2)2f′(4)．故选A．

7．(2024·宣城模拟)若曲线y＝alnx＋x2(a0)的切线的倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，则a＝(B)

A．eq\f(1,24) B．eq\f(3,8)

C．eq\f(3,4) D．eq\f(3,2)

[解析]因为y＝alnx＋x2(a0)，所以y′＝eq\f(a,x)＋2x≥2eq\r(2a)，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，所以斜率k≥eq\r(3)，因为eq\r(3)＝2eq\r(2a)，所以a＝eq\f(3,8).

8．(2023·沧衡八校联盟)若直线l与曲线f(x)＝－eq\f(4,ex＋2)相切，则直线l的斜率的最大值为(C)

A．eq\f(ln2,2) B．1－eq\f(ln2,2)

C．eq\f(1,2) D．ln