高三数学大题规范训练(23)(解析版).pdfVIP

高三数学大题规范训练（23）

15.如图，在三棱锥PABC中，PAAC，Q,D,E分别是线段PA,QC,AC的中点，

ABBC，BD2，PA4，AC2，BE1．

（）求证：平面；

1DEABC

（2）求二面角QBDA的正弦值．

【答案】（）证明见解答

1

22

（2）

3

【解答】

【分析】（）利用中位线知识得到，然后使用线面垂直的判定定理；

1BEDE

（）直接使用空间向量求解

2.

【小问详解】

1

由于是AC的中点，ABBC，故.

EBEAC

11

而D,E分别是QC,AC的中点，故DEQA且DEQAPA1，而

24

222，所以BEDE.

DEBE112BD

由DEQA，知DE∥PA，而PAAC，故DEAC.

而BEDE，AC,BE在平面ABC内交于点，故DE平面ABC.

E

【小问详解】

2

已证BEAC，DE平面ABC，



故可以E为原点，EA,EB,ED分别作为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系.

1

A1,0,0B0,1,0D0,0,1AQAP2Q1,0,2

则，，，且由知.

2



设n1p,q,r，n2u,v,w分别是平面QBD和BDA的一个法向量，



nBDnDQ0qrpr0

11

则由可知.

nBDnBA0vwuv0

22



1111

n1,1,1n1,1,1cosn,n

故可取1，2，得12.

333

22

所以二面角QBDA的正弦值是.

3

SanaS2S4