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高三数学大题规范训练（19）
15.已知，函数，且.
（1）求的单调区间；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为
（2）
【解答】
【分析】（1）先得到函数的定义域，求导，由解出的值，进而得到，由得到单调递减区间，由得到单调递增区间；
（2）若恒成立，则成立，由（1）知，从而可以得到的取值范围.
【小问1详解】
的定义域为，由已知得，
因为，所以，解得，所以.
令，解得（舍），.
当时，；当时，.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
【小问2详解】
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，有极小值.
因为在上只有一个极值，所以.
因为恒成立，所以，即，得.
所以的取值范围是.
16.面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节．某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者才能进入面试．面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得1分，答错不得分；第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分．
（1）根据近几年的数据统计，应聘者的笔试得分服从正态分布，要求满足为达标．现有1000人参加应聘，求进入面试环节的人数．（结果四舍五入保留整数）
（2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的分布列与数学期望．
附：若，则，
【答案】（1）159（2）分布列见解答，
【解答】
【分析】（1）由正态分布曲线的性质求得对应概率，即得对应人数；
（2）由题可知的可能取值为，求得对应的概率以及分布列，进一步由期望公式求解即可.
【小问1详解】
因为服从正态分布，所以．
因为，所以，
所以．
因此，进入面试的人数约为159．
【小问2详解】
由题意可知，的可能取值为，
则；
；
．
所以的分布列为：
0
1
2
3
4
5
所以．
17.如图，在四棱锥中，，，且是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解答
（2）
【解答】
【分析】（1）先证明线面垂直再根据面面垂直判定定理证明即可；
（2）先根据二面角求参得出点的坐标，再应用线面角向量求法计算.
【小问1详解】
因为，
由余弦定理得，所以.
因为，所以，所以.
因为，所以四边形为平行四边形，所以.
因为，所以，即.
因为平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
在平面内，过点作，交于.
因为平面平面，平面平面，所以平面.
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则.
由（1）可知为二面角的平面角，即，所以，由，可得.
所以.
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成角为，则
所以直线与平面所成角的余弦值为.
18.已知平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设点是圆上的动点，曲线上有四个点，其中是的中点，是的中点，记的中点为.
①求直线的斜率：
②求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）①；②
【解答】
【分析】（1）设动圆圆心，根据题意结合距离公式运算求解；
（2）①设，根据中点利用同构可得为方程的两根，利用韦达定理分析证明；②根据题意可得，结合圆的方程可得，进而可得最值.
【小问1详解】
设动圆圆心，
当时，由已知得，即；
当时，点的轨迹为点，满足.
综上可知，点的轨迹方程为.
【小问2详解】
①设.
由题意得，的中点在抛物线上，即.
又，将代入得，
同理可得，
可知为方程的两根，所以.
所以直线的斜率为0；
②由得，
所以，
又因为，
所以.
又因为点在圆上，则，且.
设的面积为S，则，
当时，S有最大值48.
所以面积的最大值为48.
【小结】方法小结：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
19.法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当的三个内角均小于时，满足的点为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.
请用以上知识解决下面的问题：
已知的内角所对的边分别为，点为的费马点，且.
（1）求；
（2）若，求的最大值；
（3）若，求实数的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解答】
【分析】（1）根据倍角公式得到，由正弦定理得到，从而；
（2）根据点为的费马点得到
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