专题03 原函数与导函数混合还原问题（解析版）.docx

专题03原函数与导函数混合还原问题

【考点预测】

1.对于，构造，

2.对于，构造

3.对于，构造，

4.对于，构造

5.对于，构造，

6.对于，构造

7.对于，构造，

8.对于，构造

9.对于，构造，

10.对于，构造

11.对于，构造，

12.对于，构造

13对于，构造

14.对于，构造

15.；；；

16.；．

【题型归纳目录】

题型一：利用构造型

题型二：利用构造型

题型三：利用构造型

题型四：用构造型

题型五：利用、与构造型

题型六：利用与构造型

题型七：复杂型：与等构造型

题型八：复杂型：与型

题型九：复杂型：与结合型

题型十：复杂型：基础型添加因式型

题型十一：复杂型：二次构造

题型十二：综合构造

题型十三：找出原函数

【典例例题】

题型一：利用构造型

例1．已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（???????）．

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【解析】

先通过得到原函数为增函数且为偶函数，再利用到轴距离求解不等式即可.

【详解】

构造函数，

则

由题可知，所以在时为增函数；

由为奇函数，为奇函数，所以为偶函数；

又，即

即

又为开口向上的偶函数

所以，解得或

故选：D

【点睛】

此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.

例2．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有则不等式的解集为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

令，确定在上是减函数，不等式等价为，根据单调性解得答案.

【详解】

由，得，

即，令，

则当时，得，即在上是减函数，

，，

即不等式等价为，

在是减函数，由得，

即，又，解得，故.

故选:：.

【点睛】

本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数，确定其单调性是解题的关键.

例3．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数x，都有x+2f（x）＞0恒成立，且，则使x2f（x）＜2成立的实数x的集合为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据x+2f（x）＞0的特征，构造，研究其单性，又，得到，将x2f（x）＜2，转化为，利用单调性定义求解.

【详解】

设，

所以，

因为时，都有x+2f（x）＞0恒成立，

所以，

所以在上是增函数，

又因为函数f（x）是定义在R上的奇函数

所以也是定义在R上的奇函数

所以在上是增函数，

又因为函数f（x）是定义在R上，其导函数为

所以函数f（x）是连续函数

所以在R上是增函数，

又因为，

所以，

又因为x2f（x）＜2，

即.

所以

故选：C

【点睛】

本题主要考查了导数的运算法则和导数与函数的单调性，还考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题.

例4．函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

设函数，根据导数的运算和题设条件，求得函数在上为增函数，把不等式转化为，即，利用单调性，即可求解.

【详解】

由题意，设函数，

则，

因为是定义在区间上的可导函数，且满足，

所以，所以函数在上为增函数，

又由，即，

即，所以，解得，

即不等式的解集为.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系及应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力.

例5．已知是定义在上的奇函数，且时，，又，则的解集为（?????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

令，则，由题设易知上，且在上是奇函数，即在、都单调递减，同时可知，利用单调性求的解集，即为的解集.

【详解】

令，则，

由时，知：，

∴在上，，单调递减，又上为奇函数，

∴，故也是奇函数，

∴在上单调递减，又，即有，

∴的解集，即的解集为.

故选：C

【方法技巧与总结】

1.对于，构造，

2.对于，构造

题型二：利用构造型

例6．设是偶函数的导函数，当时，，则不等式的解集为（?????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

设，计算，变换得到，根据函数的单调性和奇偶性得到，解得答案.

【详解】

由题意，得，

进而得到，令，

则，，.

由，得，

即.

当时，，在上是增函数.

函数是偶函数，也是偶函数，且在上是减函数，

，解得，又，即，.

故选：.

【点睛】

本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，构造函数，确定其单调性和奇偶性是解题的关键.

例7．已知是定义在上的奇函数，，当时，，则不等式的解集为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，构造出函数，则，进而结合题意求得答案.

【详解】

设，则，，若x0，由，则，即在上单调递增.

因