一章节函数连续与间断.pptxVIP

1一、函数的连续性三、初等函数的连续性五、小结四、函数的间断点二、左右连续

2一、函数的连续性1.函数的增量

32.连续的定义

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6例1证由定义2知

7定理二左右连续

8例2解右连续但不左连续,

9右连续且左连续,

10连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,

11例4证

12例5解

131、四则运算的连续性定理1例如,三、连续函数四则运算初等函数的连续性

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162、反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.

17定理3证

18将上两步合起来:

19意义1.极限符号可以与函数符号互换;例6解

20例7解同理可得

21定理4注意定理4是定理3的特殊情况.例如,

223、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.★★★

23定理5基本初等函数在定义域内是连续的.★(均在其定义域内连续)定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.

241.初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;例如,这些孤立点的邻域内没有定义.在0点的邻域内没有定义.注意注意2.初等函数求极限的方法代入法.

25例8例9解解

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29四、函数的间断点

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311.跳跃间断点例14解

322.可去间断点例15

33解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.

34如例15中,

35第二类间断点例16解

36例17解

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41三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)

42可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx

43练习与思考题

44思考题解答且

45但反之不成立.例但

46462、讨论函数的连续性。解：有因而

473、确定函数间断点的类型.解:间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.