高数线代习题.pdf

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第六章⼆次型

f=x2+4y2+z2+4xy+2xzAn

1.⽤矩阵记号表示⼆次型。3.设是⼀个阶⽅阵，证明：

AnX

(1)是反对称矩阵当且仅当对任⼀个维向量，都有

XTAX=0。

AnX

(2)如果是对称矩阵，且对任⼀个维向量都有

XTAX=0A=O

，则。

123

2.写出⼆次型f(x)=XT456X的矩阵。

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4.⽤⾮退化的线性替换X=CY将⼆次型5.求可逆矩阵C，使CTAC为对⻆阵，其中

2220−21

f=x+2xx+2x+4xx+4x化为标准形，写出相

1122233A=(−201)。

应的线性替换。110

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6.(1)将第4题的⼆次型标准形在实数域和复数域上分别进8.证明：⼀个实⼆次型可以分解成两个实系数⼀次⻬次多

2

⼀步化为规范形，并写出相应的⾮退化的线性替换。项式的乘积的充分必要条件是：这个⼆次型的秩等于且

01

(2)指出该⼆次型的秩、正负惯性指数与符号差。符号差等于，或者这个⼆次型的秩等于。

7.证明：任⼀个秩等于r的对称矩阵可以表示成r个秩等于

1的对称矩阵之和。

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