专题19：解三角形-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（原卷版）.docx

专题19：解三角形

精讲温故知新

一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★）

1．正弦定理及其变形

变式：

2．正弦定理适用情况：

（1）已知两角及任一边；

（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）.

3．余弦定理及其推论

4．余弦定理适用情况：

（1）已知两边及夹角；（2）已知三边.

注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式.

5．常用的三角形面积公式

（1）；

（2）（两边夹一角）；

6．三角形中常用结论

1）

（2）

（3）在中，，所以①；②；

③；④⑤

7．实际问题中的常用角

（1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）

注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）

如：①北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；

②“东北方向”表示北偏东（或东偏北）.

（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）

5)三角形的五心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点

重心——三角形三条中线的相交于一点

外心——三角形三边垂直平分线相交于一点

内心——三角形三内角的平分线相交于一点

旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

题型一：正余弦定理的简单应用

例1：1.（2015·北京·高考真题（文））在中，，，，则_________．

2．（2021·全国·高考真题（文））在中，已知，，，则（???????）

A．1 B． C． D．3

3.（2022·全国·高考真题（文））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．

(1)若，求C；

(2)证明：

3．（2019·全国·高考真题（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．

（1）求A；

（2）若，求sinC．

举一反三

1．（2020·全国·高考真题（理））在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（???????）

A． B． C． D．

2.（2014·湖北·高考真题（文））在△中，角所对的边分别为，已知，则________．

题型二：正余弦定理边角互化

例2：1．（2013·湖南·高考真题（文））在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB=b，则角A等于

A． B． C． D．

2．（2019·全国·高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=

A．6 B．5 C．4 D．3

举一反三

1．（2014·江西·高考真题（文））在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，则的值为（????????）

A． B． C．1 D．

2.（2016·天津·高考真题（文））在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知.

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若，求sinC的值.

题型三：面积问题

例3：（2022·浙江·高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

(1)求的值；

(2)若，求的面积．

举一反三

（2019·全国·高考真题（理））的内角的对边分别为，已知．

（1）求；

（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

题型四：周长问题

例4：（2022·北京·高考真题）在中，．

(1)求；

(2)若，且的面积为，求的周长．

举一反三

（2022·全国·高考真题（理））记的内角的对边分别为，已知．

(1)证明：；

(2)若，求的周长．

题型五：判断三角形形状

例5：（2021·全国·高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．

（1）若，求的面积；

（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

举一反三

（2020·全国·高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求A；

（2）若，证明：△ABC是直角三角形．

题型六：三角形外接圆问题

例6：（2022·上海·高考真题）在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________

举一反三

（2021·吉林·长春市基础教育研究中心（长春市基础教育质量监测中心）一模（文））△中，已知分别是角的对边，若，，则△外接圆的直径为（???????）

A． B． C． D．

题型七：求范围问题

例7：1.（2014·江苏·高考真题）若△ABC的内角满足，则的