专题20 填空压轴题-备战2024年江苏新高考数学真题模拟题分类汇编（解析版）.docx

专题20填空压轴题

1．（2023?新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为．

【答案】

【详解】（法一）如图，设，，，

设，则，

又，则，可得，

又，且，

则，化简得．

又点在上，

则，整理可得，

代，可得，即，

解得或（舍去），

故．

（法二）由，得，

设，由对称性可得，

则，

设，则，

所以，解得，

所以，

在△中，由余弦定理可得，

即，则．

故答案为：．

2．（2022?新高考Ⅰ）已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，，则的周长是．

【答案】13

【详解】椭圆的离心率为，

不妨可设椭圆，，

的上顶点为，两个焦点为，，

△为等边三角形，

过且垂直于的直线与交于，两点，

，

由等腰三角形的性质可得，，，

设直线方程为，，，，，

将其与椭圆联立化简可得，，

由韦达定理可得，，，

，解得，

的周长等价于．

故答案为：13．

3．（2021?新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折次，那么．

【答案】5；

【详解】易知有，，共5种规格；

由题可知，对折次共有种规格，且面积为，故，

则，记，则，

，

，

．

故答案为：5；．

4．（2023?盐城一模）直线与曲线及曲线分别交于点，．曲线在处的切线为，曲线在处的切线为若，相交于点，则面积的最小值为．

【答案】2

【详解】设，，，，

由，得到，由，得到，

所以由导数的几何意义得：，，

联立方程解得：，

的面积，

令，所以，

当且仅当，即时取等号．

故答案为：2．

5．（2023?江苏模拟）已知正四棱锥的所有棱长都为1，点在侧棱上．过点且垂直于的平面截该棱锥，得到截面多边形，则的边数至多为，的面积的最大值为．

【答案】5；

【详解】取中点，，，，

平面，

作平面与平面平行，截面至多为五边形，如图，

令，，，

，，，，

，，

，

与的夹角，而与垂直，

，

，

当时，取最大值为．

故答案为：5；．

6．（2023?南通二模）弓琴（左图），也可称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖．古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸．在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”．弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，其正面为一椭圆面，它有多条弦，拨动琴弦，音色柔弱动听，现有某研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳．右图是一弓琴琴腔下部分的正面图．若按对称建立如图所示坐标系，为左焦点，，2，3，4，5，6，均匀对称分布在上半个椭圆弧上，为琴弦，记，2，3，4，5，6，，数列前项和为，椭圆方程为，且，则取最小值时，椭圆的离心率为．

【答案】

【详解】设，，有，，2，3，4，5，6，，

则（椭圆的焦半径公式），由题意可得为等差数列，

，

由题意，，的横坐标把八等分，所以，，又因为，

所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

即椭圆的离心率，

故答案为：．

7．（2023?江宁区校级一模）已知椭圆的两个焦点为和，直线过点，点关于的对称点在上，且，则的方程为．

【答案】

【详解】因为与关于直线对称，所以直线为的垂直平分线，

所以，由椭圆的定义可得，

设直线与交于点，则为的中点，且，

所以

，

解得或1（舍去），所以，，

则的方程为：，

故答案为：．

8．（2023?泰州模拟）“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数，为的所有正因数之和，如（6），则；．

【答案】42；

【详解】根据新定义可得，，

因为，正因数，，，，，，，，，，，，，，，，

所以．

故答案为：42；．

9．（2023?鼓楼区校级一模）三个元件，，独立正常工作的概率分别是，，，把它们随意接入如图所示电路的三个接线盒，，中（一盒接一个元件），各种连接方法中，此电路正常工作的最大概率是．

【答案】

【详解】当接入时，能正常工作的概率为（A），

当接入时，能正常工作的概率为（B），

当接入时，能正常工作的概率为（C），

，

（C）（B），（B）（A），

（C）（B）（A），

此电路正常工作的最大概率是．

故答案为：．

10．（2023?江苏模拟）已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则．

【答案】2

【详解】因为函数的两个零点为，，

则，即，

又，

则，即，

所以．

故答案为：2．

11．（2023?南通模拟）在平面直角坐标系中，已知圆，圆．若圆上存在两点，，且圆上恰