相似矩阵矩阵可对角化的条件.pptVIP

1§2矩阵可对角化的条件一、相似矩阵及其性质二、矩阵可对角化的条件

一、相似矩阵及其性质P2/11§2相似矩阵可对角化的条件定义3.3设A,B均为n阶方阵,若?可逆矩阵P,使得P?1AP=B,(3.8)则称A与B相似,记作A?B.性质3.1基本性质1)反身性;定理3.5若A?B,则|A|=|B|;2)R(A)=R(B);3)A?1?B?1,A,B均可逆.2)对称性;3)传递性.

推论3.3若A?B,则Am?Bm,m?Z.06定理3.6若A?B,则A与B的特征多项式相同,从而A与B的特征值亦相同.证明A?B??可逆阵P,使得P?1AP=B,042相似矩阵可对角化的条件01推论3.203则l1,l2,…,ln是A的n个特征值.05若02

2相似矩阵可对角化的条件定理3.7A与对角矩阵相似?A有n个线性无关的特征向量.证明“?”设?可逆阵P,使P?1AP=L为对角阵.将P按列分块:P=(p1,p2,…,pn),因而有于是有Api=lipi,i=1,2,…,n.矩阵可对角化的条件

2相似矩阵可对角化的条件“?”设p1,p2,…,pn为A的n个线性无关的特征向量,则有Api=lipi,i=1,2,…,n.即即AP=PL.又P可逆,则有P?1AP=L为对角阵.12

§2相似矩阵可对角化的条件推论3.4若An的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似．注1A可对角化,但A未必有n个相异的特征值,如aE可对角化,但其只有一个n重特征值.注2若A的特征方程有重根,此时不一定有n个线性无关的特征向量,从而A不一定可对角化,但若能找到n个线性无关的特征向量,则A仍可对角化.定理3.8设li为An的ni重特征值,i=1,2,…,m,n1+n2+…+nm=n,则An?L(对角矩阵)?R(liE?A)=n?ni.证明“?”An?L??可逆阵P使P?1AP=L,

2相似矩阵可对角化的条件即即pij,i=1,…,m,j=1,…,ni是方程组的解.

2相似矩阵可对角化的条件01则02“?”03的基础解系有ni个线性无关的向量04矛盾05因A?L,由定理3.7知A有n个线性无关的特征向量,06若07

§2相似矩阵可对角化的条件A能否对角化?若能对角化,则求出可逆矩阵P,使P?1AP为对角阵.例3.3设解故A的全部特征值为l1=l2=1,l3=?2,

2相似矩阵可对角化的条件令注若令将l1=l2=1代入方程组(lE?A)x=0,解之得基础解系x1=(?2,1,0)T,x2=(0,0,1)T.将l3=?2代入方程组(lE?A)x=0,其基础解系为x3=(0?1,1,1)T.由于x1,x2,x3线性无关,则A可对角化.故即P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要对应.

2相似矩阵可对角化的条件1例3.4x,y为何值时,2解3与对角矩阵相似?4则l1=?1,l2=l3=1.5?x+y=0.6由定理4.8知,(l2E?A)x=0的7基础解系中有2个向量,8因而R(l2E?A)=1.9则有10