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安徽省芜湖市镜湖区安徽师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设，向量，且，则等于（）

A．2 B．

C．3 D．4

2．中，，，C点在y轴上，若AB边上的中线CD也是AB边上的高，则直线CD的方程为（???）

A． B．

C． D．

3．在数列中，若，则（????）

A． B． C． D．

4．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆，把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用矩形ABCD截某圆锥得到的椭圆E与该矩形的四边相切，且该矩形的长：宽为，则椭圆E的离心率为（???）

A． B． C． D．

5．已知数列的前n项和为，满足，且，则（????）

A． B．

C． D．

6．已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（????）

A． B． C．3 D．

7．已知两定点，，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

8．在如图所示的试验装置中，正方形框的边长为2，长方形框的长，且它们所在平面形成的二面角的大小为，活动弹子分别在对角线和上移动，且始终保持，则的长度最小时的取值为（???）

A． B．

C． D．

二、多选题

9．已知数列满足：，，则（???）

A． B．

C． D．

10．已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（???）

A．

B．平面

C．异面直线与所成的角的余弦值为

D．点到平面的距离为

11．已知A，B分别为椭圆：的左、右顶点，D为C的上顶点，为坐标原点，E为C上一点，且位于第二象限，过点E作轴，垂足为M，直线，分别与y轴交于点H，G，则下列结论正确的是（???）

A．若D是的中点，则

B．若M是C的左焦点，则G是的中点

C．

D．若M是的中点，则

三、填空题

12．已知等比数列的公比为，前项和为，若，则.

13．已知圆，，，A，B是圆C上的动点，且，点N是线段AB的中点，则当取得最大值时，的值为．

14．设，是平面直角坐标系xOy上的两点，O为坐标原点，定义点P到点Q的一种折线距离已知，Q是曲线上一点，则的最小值为.

四、解答题

15．已知，，，，．

(1)求；

(2)若，求实数，的值．

16．已知圆过点，，且直线平分圆的周长.

(1)求圆的方程；

(2)过点的直线和圆交于，两点，若，求直线的方程.

17．如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且.

(1)求证：平面；

(2)当，时，求平面与平面夹角的余弦值；

(3)在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置.

18．已知，，动点满足，

(1)求动点的轨迹的方程；

(2)设在点处曲线的切线为，若，为上两点，且满足，，

（i）证明：点在定直线上，并求出定直线方程；

（ii）是否存在点使成立，若存在，求出点横坐标；若不存在，请说明理由.

19．对于各项均为正数的无穷数列，若，都有，其中d为非零常数，则称数列是数列．

(1)判断无穷数列和是不是数列？若是，求出相应的常数d的值；若不是，请说明理由；

(2)若是数列，且．

①记的前n项和为，求证：；

②对任意的正整数n，设，求数列的前项和．

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《安徽省芜湖市镜湖区安徽师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期开学考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

B

D

C

C

A

B

A

ACD

ABD

题号

11

答案

AC

1．C

【分析】利用空间向量共线和垂直求出，再利用模的坐标表示计算得解.

【详解】向量，由，得，解得，

由，得，解得，，

所以.

故选：C

2．B

【分析】利用中点坐标公式得，根据两直线垂直斜率之积等于可得，然后利用点斜式即可得

【详解】由题意，得D是AB的中点，则，且，

又，则，

则直线CD的方程为，即

故选：B

3．D

【分析】由列举得到是以4为周期的周期数列求解.

【详解】解：由题意得，

故是以4为周期的周期数列，

所以.

故选：D.

4．C

【分析】由题意，再根据求解即可.

【详