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北京市第四中学2025届高三下学期开学测试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则等于

A． B． C． D．

2．下列函数中，在区间上单调递增的是（????）

A． B．

C． D．

3．已知且，则下列结论中不正确的是（????）

A． B．

C． D．

4．的展开式中的常数项为

A． B． C． D．

5．已知均为第二象限角，则“”是“”的（???）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．在中，若的面积为，，，则（???）

A． B． C． D．

7．如图，是平面上一点，以为圆心，分别画出半径为1，2，3，4，5的同心圆.记半径为4的圆的一条切线为，再画出与平行的各圆的切线和一条穿过圆心与平行的直线.若以为焦点，为准线的抛物线记为，则这个点（???）

A．都不在抛物线线上 B．只有个点在抛物线上

C．有个点在抛物线上 D．有个点在抛物线上

8．点声源亦称“球面声源”或“简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量（单位：）与传播距离（单位：）的关系式为，其中为常数.当传播距离为时，衰减量为；当传播距离为时，衰减量为.若，则约为（????）（参考数据：）

A． B．

C． D．

9．如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，动点F沿着线段从点B移动到点．则下列结论中正确的是（????）

A．直线与直线为异面直线 B．恒为钝角

C．三棱锥体积越来越大 D．

10．已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（???）

A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值

C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值

二、填空题

11．函数的定义域是．

12．设是等比数列，，，则.

13．已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为

14．函数是奇函数，且对任意成立，则满足条件的一组值可以是，．

15．已知函数，其中表示不大于实数的最大整数．给出下列四个结论：

（1）的定义域为：

（2）不等式恒成立；

（3）存在，使得关于的方程有解；

（4）存在，使得当、且时，都有．

其中所有正确结论的序号是．

三、解答题

16．已知函数，.

(1)求的最小正周期及单调递减区间；

(2)直线与曲线、分别交于点、，求的最大值．

17．如图，在四棱锥中，，，，，，，为的中点，平面与棱交于点．

(1)求证：，且是的中点；

(2)若为的中点，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

18．某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）：

男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12；

女生：5，5，6，7，8，9，11，13．

假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立．

(1)根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率；

(2)现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求的分布列和数学期望；

(3)现增加一名女生得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为，新女生样本阅读量的方差为．若女生的阅读量为8本，写出方差与的大小关系．（结论不要求证明）

19．已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．

(1)求的方程；

(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．

20．已知函数，，其中．

(1)当时，求曲线在点处切线的方程；

(2)求函数的零点；

(3)用表示、的最大值，记．问：是否存在实数，使得对任意，恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

21．设数阵，其中.设，其中，且.定义变换为“对于数阵的每一列，若其中有t或，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t且没有，则这一列中每个数都乘以”（），表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，…，以此类推，最后将经过变换得到.记数阵中四个数的和为.

(1)若，，写出经过变换后得到的数阵，并求的值；

(2)若，，求的所有可能取值的和；

(3)对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不大于.

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