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高三数学大题规范训练（7）

15.有个型号和形状完全相同的纳米芯片，已知其中有两件是次品，现对产品随机地逐一检测.

（1）求检测过程中两件次品不相邻的概率；

（2）设检测完后两件次品中间相隔正品的个数为，求的分布列和数学期望.

【答案】（1）

（2）分布列见解答，

【解答】

【分析】（1）用插空法求出符合条件的事件数，再由古典概型计算可得；

（2）依题意的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望.

【小问1详解】

记检测过程中两件次品不相邻为事件，

依题意即将个芯片排列，其中两件次品不相邻的概率，

所以.

小问2详解】

依题意的可能取值为、、、，

所以，，，

，

所以的分布列为：

所以.

16.已知函数，，.

（1）求函数的单调区间；

（2）若且恒成立，求的最小值.

【答案】（1）答案见解答

（2）.

【解答】

【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得；

（2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解.

【小问1详解】

（），

当时，由于，所以恒成立，从而在上递增；

当时，，；，，

从而在上递增，在递减；

综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

【小问2详解】

令，要使恒成立，

只要使恒成立，也只要使.

，

由于，，所以恒成立，

当时，，当时，，

所以，解得：，

所以的最小值为.

17.如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为.

（1）若为棱的中点，求证：平面；

（2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成夹角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解答

（2）存在，

【解答】

【分析】（1）合理构造图形，利用线线平行证明线面平行即可.

（2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法处理即可.

【小问1详解】

取中点，连接分别为的中点，

，

底面四边形是矩形，为棱的中点，

，

故四边形是平行四边形，，

又平面平面，

//平面.

【小问2详解】

假设在棱上存在点满足题意，如图：连接，，，

在等边中，为的中点，所以，

又平面平面，平面平面平面，

平面，则是四棱锥的高，

设，则，

∴，所以，

以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

故，

设，

．

设平面的一个法向量为，

则所以可取.

易知平面的一个法向量为，

，，

故存在点满足题意.

18.已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．

（1）求的方程，并说明轨迹的形状；

（2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．

①当时，求证：的值及的周长均为定值；

②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）答案见解答

（2）①证明见解答；②存在；

【解答】

【分析】（1）设，由题意可得，结合椭圆、双曲线的标准方程即可求解；

（2）设点，其中且.

（ⅰ）由可知三点共且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，进而表示出，结合（1）化简计算即可；由椭圆的定义，由得，，进而表示出，化简计算即可；（ii）由（ⅰ）可知三点共线，且，设：，联立的方程，利用韦达定理表示，计算化简可得，结合由内切圆性质计算即可求解.

【小问1详解】

设点，由题意可知，

即，

经化简，得的方程为，

当时，曲线是焦点在轴上的椭圆；

当时，曲线是焦点在轴上的双曲线．

【小问2详解】

设点，其中且，

（ⅰ）由（1）可知的方程为，

因，所以，

因此，三点共线，且，

（法一）设直线的方程为，联立的方程，得，

则，

由（1）可知，

所以

，

所以为定值1；

（法二）设，则有，解得，

同理由，解得，

所以，

所以为定值1；

由椭圆定义，得，

，

解得，同理可得，

所以

．

因为，所以的周长为定值．

（ⅱ）当时，曲线方程为，轨迹为双曲线，

根据（ⅰ）的证明，同理可得三点共线，且，

（法一）设直线的方程为，联立的方程，

得，

，（*）

因为，

所以

，

将（*）代入上式，化简得，

（法二）设，依条件有，解得，

同理由，解得，

所以．

由双曲线的定义，得，

根据，解得，

同理根据，解得，

所以

，

由内切圆性质可知，，

当时，（常数）．

因此，存在常数使得恒成立，且．

【小结】方法小结：求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

19.无穷数列，，…，，…的定义如下：如果n是偶数，就对n尽可能多次地除以2，直到得出一个奇数，这个奇数就是﹔如果n是奇数，就对尽可能