高三数学大题规范训练(10)(解析版).docxVIP

高三数学大题规范训练（10）

15.若数列是公差为1的等差数列，且，点在函数的图象上，记数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式;

（2）设，记数列的前项和为，证明:.

【答案】（1），

（2）证明见解答

【解答】

【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，代入到中即可求解，

（2）利用裂项求和即可求解.

小问1详解】

由得，，

点在函数的图象上，

【小问2详解】

,显然数列为等比数列，首项为1，公比为3，则，

16.如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.

（1）证明：；

（2）若M是棱BC上的点，且满足，求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解答

（2）

【解答】

【分析】（1）先根据线面垂直的性质得，再根据线面垂直的判定定理得平面，从而利用线面垂直的性质定理即可证明；

（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，然后利用法向量求法求出平面和平面的法向量，再利用向量法求解即可.

【小问1详解】

在四棱台中，延长后必交于一点，

故四点共面，因为平面，平面，故，

连接，因为底面四边形为菱形，故，

平面，故平面，

因为平面，所以.

【小问2详解】

过点A作的垂线，交与点N，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），

设，则，由于，故，

则，，

则，，，

记平面的法向量为，

则，即，令，

则，即，

平面的法向量可取为，

则.

所以二面角的余弦值为.

17.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：.根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为等品，其它产品称为等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.

（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；

(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量服从正态分布，则，.)

（2）（i）从样本的质量指标值在和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为，求的分布列和数学期望；

（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件等品芯片的利润是元，一件等品芯片的利润是元，根据(1)的计算结果，试求的值，使得每箱产品的利润最大.

【答案】（1）

（2）（i）分布列见解答，；（ii）

【解答】

【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.

（2）（i）先求出取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；

（ii）先根据二项分布的期望求出，然后构造函数，利用导数求出最大值时的即可.

【小问1详解】

由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：

．

即，，所以，

因为质量指标值近似服从正态分布，

所以，

所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为等品的概率约为.

【小问2详解】

（i），所以所取样本的个数为20件，

质量指标值在的芯片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3，

相应的概率为：

，，

，，

随机变量的分布列为：

0

1

2

3

所以的数学期望.

（ii）设每箱产品中A等品有件，则每箱产品中等品有件，

设每箱产品的利润为元，

由题意知：，

由（1）知：每箱零件中A等品的概率为，

所以，所以，

所以

.

令，由得，，

又，，单调递增，，，单调递减，

所以当时，取得最大值.

所以当时，每箱产品利润最大

18.已知动圆与圆：和圆：都内切，记动圆圆心的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：.试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，.

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记，的面积分别为，，求的取值范围.

【答案】（1）；

（2）（i）证明见解答；（ii）.

【解答】

【分析】（1）根据椭圆的几何定义求解动点的轨迹方程；

（2）（i）根据题意中的性质求解出两条切线方程，代入点坐标后，得出直线的方程，从而算出斜率，再去判断与另一直线是否垂直；

（ii）联立直线的方程与椭圆的方程，由韦达定理得出，进而求解出直线与轴的交点的坐标，再用垂直关系又去设出直线的方程与椭圆的方程联立，再用坐标去表示出，最后可由基本不等式得出结果.

【小问1详解】

设动圆的半径为，由题意得圆和