高三数学大题规范训练(13)(解析版).docxVIP

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高三数学大题规范训练（13）

15.记的内角的对边分别为，已知.

（1）若成等差数列，求的面积；

（2）若，求.

【答案】（1）

（2）4

【解答】

【分析】（1）根据等差数列的性质得到，再利用余弦定理求得的值，进而利用三角形的面积公式求解；

（2）根据已知条件代入，并用三角恒等变换化简求得A，再利用正弦定理求解.

【小问1详解】

因为成等差数列，所以，

又，所以①，

在中，由余弦定理可得：，

又，所以②，

由①②得，

所以的面积.

【小问2详解】

因为，所以，

又因为且，所以，

所以，

所以，所以，

所以，

又因为，所以，所以，所以，

所以.

16.如图，三棱柱中，侧面底面ABC，且，．

（1）证明：平面ABC；

（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见解答；

（2）.

【解答】

【分析】（1）取BC的中点M，连结MA、，根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得平面，进而由得，再证明平面ABC即可得证.

（2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于的垂面，从而得出二面角的平面角再进行求解即可.

【小问1详解】

取BC的中点M，连结MA、．

因为，，所以，，

由于AM，平面，且，

因此平面，

因为平面，所以，

又因为，所以，

因为平面平面ABC，平面平面，且平面，所以平面ABC，

因为，所以平面ABC.

【小问2详解】

法一：因为，且，所以．

以AB，AC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，．

所以，，．

设平面的法向量为m=x1,y1

令，则，

设平面的法向量为n=x2,y2

令，则，

设平面与平面夹角为，则，

所以平面与平面夹角的余弦值为.

法二：将直三棱柱补成长方体．

连接，过点C作，垂足为P，再过P作，垂足为Q，连接CQ，

因为平面，且平面，

所以，

又因为，由于BD，平面，且，

所以平面，则为直角三角形，

由于平面，所以，

因为，平面CPQ，且，所以平面CPQ，

因为平面CPQ，所以，

则∠CQP为平面与平面的夹角或补角，

在中，由等面积法可得,

因为，所以，

因此平面与平面夹角的余弦值为.

17.乒乓球（tabletennis），被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球比赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜．

（1）若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为，甲接球时获胜的概率为，甲先发球，求单局比赛中甲获胜的概率；

（2）若比赛采用三局两胜制（当一队朚得两场胜利时，该队获胜，比赛结束），每局比赛甲获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记为比赛结束时的总局数，求的期望．（参考数据）

【答案】（1）

（2）

【解答】

【分析】（1）根据题意，分3种情况分别求单局比赛中甲获胜的概率，再求和；

（2）首先分析得到，再分别求概率，以及数学期望.

【小问1详解】

设事件为“若甲先发球，单局比赛甲11:2获胜”，其可分为如下三种基本事件，

事件为“甲发球，甲败2次”，事件为“乙发球，甲败2次”，事件为“甲发球，甲败1次，乙发球，甲败1次”，

这个单局比赛中，甲发球6次，乙发球6次，最后1次是甲发球甲赢，

，，,

；

【小问2详解】

随机变量的所有可能取值为2,3，

，

，

所以.

18.已知函数.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若函数在上仅有两个零点，求实数取值范围.

【答案】（1）极小值为，无极大值

（2）

【解答】

【分析】（1）求出导函数，然后列表求出函数的单调区间，根据极值定义即可求解；

（2）把原函数有两个零点转化为在0,+∞上仅有两个零点，分类讨论，利用导数研究函数的单调性，列不等式求解即可.

【小问1详解】

当时，R），所以，

令，则，

f

-

0

+

单调递减

极小值

单调递增

所以，

所以的极小值为，无极大值.

【小问2详解】

函数在0,+∞上仅有两个零点，

令，则问题等价于在0,+∞上仅有两个零点，

易知，因为x∈0,+∞，所以.

①当时，在0,+∞上恒成立，所以在0,+∞上单调递增，

所以，所以在0,+∞上没有零点，不符合题意；

②当时，令，得，

所以在上，，在上，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为.

因为在0,+∞上有两个零点，所以，所以.

因为，

令，则，

所以在0,2上，?′x0，在上，

所以?x在0,2上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，

所以当时，在和内各有一个零点，

即当时，在0,+∞上仅有两个零点.

综上，实数的取值范围是.

【小结】方法小结：求解函数单调区间的步骤：

（1）确定的定义域.

（