第23讲 直线和圆锥曲线的位置关系（原卷版）.docx

第23讲直线和圆锥曲线的位置关系

考点分析

考点一：直线和曲线联立

①正设：椭圆与直线相交于两点，设，

，

②反设：椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，

考点二：根的判别式和韦达定理

与联立，两边同时乘上即可得到，

由韦达定理写出，，（其中，，）

注意隐含条件．

题型目录

题型一：直线与椭圆位置关系

题型二：直线与双曲线位置关系

题型三：直线与抛物线位置关系

典型例题

题型一：直线与椭圆位置关系

【例1】（2023·全国·高三专题练习）直线与椭圆的位置关系是（???????）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

【例2】（2022·全国·高二课时练习）若直线与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（???????）

A．0或1 B．2 C．1 D．0

【例3】（2022全国·高二专题练习）已知椭圆，直线，那么直线与椭圆位置关系（）

A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定

【例4】（2022·江苏·高二）已知椭圆C的标准方程为，若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，则点M的坐标为______．

【例5】（2021·云南省昆明市第十中学高二阶段练习（理））设是圆：上一点，则圆在处的切线方程为，由此类比可得到的正确结论是：设是椭圆：上一点，则椭圆在处的切线方程为_________________．

【例6】（2022·河北·张家口市宣化第一中学高二期末）已知点是椭圆上任意一点，则点到直线距离的最小值为______．

【例7】（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）已知动点到定点、的距离之比为，动直线与垂直，垂足为点．

(1)求动点的轨迹方程；

(2)是否存在中心在坐标原点，焦点在轴的椭圆使得它与直线只有一个公共点？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由．

【例8】（2022·江苏盐城·高二期末）平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为F，点P为椭圆上的动点，OP的最小值为1，FP的最大值为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线上是否存在点Q，使得过点Q能作椭圆C的两条互相垂直的切线？若存在，请求出这样的点Q；若不存在，请说明理由．

【题型专练】

1．（2022全国·高二课时练习）直线：，椭圆，则直线和椭圆的位置关系是__．

2.（2022·重庆·西南大学附中高二阶段练习）直线：与椭圆的位置关系是____________.

3.（2022·江苏·高二）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为（???????）

A．0 B．1

C．2 D．需根据a，b的取值来确定

4.（2022辽宁·高二阶段练习）已知直线l：，曲线C：，则直线l与曲线C的位置关系是（???????）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定

5．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙），则椭圆的蒙日圆的半径为（???????）

??????????

A．3 B．4 C．5 D．6

6．（2022·河北邯郸·模拟预测）已知直线：与椭圆：，则下列结论正确的是（???????）

A．若与至少有一个公共点，则

B．若与有且仅有两个公共点，则

C．若，则上到的距离为5的点只有1个

D．若，则上到的距离为1的点只有3个

7．（2022辽宁·高二期中）在平面直角坐标系中，已知点和曲线，则对于直线下列说法正确的是（???????）

A．若，，，则直线与曲线没有交点

B．若，，，则直线与曲线有二个交点

C．若，，，则直线与曲线有一个交点

D．直线与曲线的位置关系和在哪里无关

8．（2022·广西·浦北中学高二期中（文））在直角坐标系中，椭圆C方程为，P为椭圆C上的动点，直线的方程为：，则点P到直线的距离d的最小值为__________.

9．（2022·江西·临川一中高三期中（文））已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆C上.点P为圆上任意一点，O为坐标原点.

(1)求椭圆C及圆M的标准方程；

(2)设直线l经过点P，且与椭圆C相切，与圆M相交于另一点A，点A关于原点的对称点为B，试判断直线与椭圆C的位置关系，并证明你的结论.

10．（2022·四川·乐山市教育科学研究所二模（文））已知椭圆C：的离心率为，点在椭圆C上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设是椭圆C上第一象限的点，直线过P且与椭圆C有且仅有一个公共点.

①求直线的方程（用，表示）；

②设O为坐标原点，直线分别与x轴，y轴相交于点M，N，求面积的最小值.

题型二：直线与双曲线的位置关系

【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知直线l的方程为，双曲线C的