第一章 空间向量与立体几何章末重点题型归纳 -2022-2023学年高二数学同步讲义（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版） .docx

第一章空间向量与立体几何章末重点题型归纳

知识点1空间向量的有关概念

1．在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模．

注：数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。

2.表示法：

（1）几何表示法：空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模

（2）字母表示法：用字母表示，若向量a的起点是A，终点是B，则a也可记作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.

3．几类特殊的空间向量

名称

定义

表示法

零向量

规定长度为0的向量叫做零向量

记为0

单位向量

模为1的向量叫做单位向量

|a|＝1或|eq\o(AB,\s\up7(―→))|＝1

相反向量

与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量

记为－a

共线向量

如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a

a∥b或eq\o(AB,\s\up7(―→))∥eq\o(CD,\s\up7(―→))

相等向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量

a＝b或eq\o(AB,\s\up7(―→))＝eq\o(CD,\s\up7(―→))

知识点2空间向量的线性运算

（一）空间向量的加减运算

加法运算

三角形

法则

语言叙述

首尾顺次相接，首指向尾为和

图形叙述

平行四边形法则

语言叙述

共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和

图形叙述

减法运算

三角形

法则

语言叙述

共起点，连终点，方向指向被减向量

图形叙述

加法运算

交换律

a＋b＝b＋a

结合律

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

（二）空间向量的数乘运算

定义

与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为空间向量的数乘

几何意义

λ0

λa与向量a的方向相同

λa的长度是a的长度的|λ|倍

λ0

λa与向量a的方向相反

λ＝0

λa＝0，其方向是任意的

运算律

结合律

λ(μa)＝(λμ)a

分配律

(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb

知识点3共线向量与共面向量

1．共线向量与共面向量的区别

共线(平行)向量

共面向量

定义

表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量

注：规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a.

平行于同一个平面的向量叫做共面向量

充要条件

共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.

注：（1）存在唯一实数，使得；（2）存在唯一实数，使得，则．注意：不可丢掉，否则实数就不唯一．

共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(―→))＝xeq\o(OA,\s\up7(―→))＋yeq\o(OB,\s\up7(―→))(x＋y＝1)．

1、空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).

2、空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有

用途

共线向量定理的用途：

①判定两条直线平行；（进而证线面平行）

②证明三点共线。

注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。

共面向量定理的用途：

①证明四点共面

②线面平行（进而证面面平行）。

2.直线l的方向向量

如图O∈l，在直线l上取非零向量a，设P为l上的任意一点，则?λ∈R使得eq\o(OP,\s\up7(―→))＝λa.

定义：把与a平行的非零向量称为直线l的方向向量．

知识点4空间向量的夹角

定义

如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记