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高三数学大题规范训练（20）
15.已知.
(1)讨论的单调性；
(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.
【答案】(1)时,在0,+∞是单调递增；时,在单调递增，在单调递减.（2）.
【解答】
【详解】试题分析：（Ⅰ）由,可分,两种情况来讨论；（II）由（I）知当时在0,+∞无最大值,当时最大值为因此.令,则在0,+∞是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.
试题解答：
（Ⅰ）的定义域为0,+∞,,若,则,在0,+∞是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时在0,+∞无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在0,+∞是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是.
考点：本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.
16.“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值；
（2）为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；
（3）以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值．
【答案】（1）
（2）分布列见解答；数学期望
（3）
【解答】
【分析】（1）根据频率和为，可构造方程求得的值；
（2）根据分层抽样原则可确定人中，周平均阅读时间在，，的人数，则可确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得期望值；
（3）根据频率分布直方图可求得周平均阅读时间在内的概率，利用二项分布概率公式可表示出，由此可确定结果.
【小问1详解】
，.
【小问2详解】
由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，
人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；
则所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
数学期望.
【小问3详解】
用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，周平均阅读时间在内的概率；
则，
若最大，则最大，当时，取得最大值.
17.如图，圆台下底面圆的直径为是圆上异于的点，且为上底面圆的一条直径，是边长为6的等边三角形，.
（1）证明：平面平面；
（2）求平面和平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解答
（2）
【解答】
【分析】（1）由线段关系先证得平面，再证平面平面即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算平面夹角即可.
【小问1详解】
解（1）为圆的直径，是圆上异于的点，
故，
又，
而.
平面，平面.
平面平面平面.
（注：也可以由，证明，得出）
【小问2详解】
设为的中点，连接，则，
由（1）可知，平面；所以
平面，平面，
如图以为原点，分别以所在直线为轴?轴?轴建立空间直角坐标系，
由题意可得
平面，四边形为矩形，
设平面的一个法向量为
由，令，可得，
即，
设平面一个法向量为，
由得，令，可得，
即.
设平面与平面的夹角为
则
平面和平面夹角余弦值为.
18.已知以下事实：反比例函数（）的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线．
（1）（ⅰ）直接写出函数的图象的实轴长；
（ⅱ）将曲线绕原点顺时针转，得到曲线，直接写出曲线的方程．
（2）已知点是曲线的左顶点．圆：（）与直线：交于、两点，直线、分别与双曲线交于、两点．试问：点A到直线的距离是否存在最大值？若存在，求出此最大值以及此时的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）（ⅰ）2；（ⅱ）．
（2）存在，点A到直线距离的最大值为2，．
【解答】
【分析】（1）由题意结合双曲线的性质，即可求得答案；
（2）方法一：设，Mx1,y1，Nx2,y2，设：，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，进而求出两点的纵坐标，结合
方法二：设，，，Mx1,y1，
利用，的方程求出，，的表达式，即可得的坐标，从而求出的方程，可推出过定点，即可求得答案；
方法三：设，，，Mx1,y1，Nx2,y2，可得，设：，联立双曲线方程化简得出，变形后利用根与系数的关系可得出，求出n，即可推出过定点，即可求得答案
【小问1详解】
（ⅰ）由题意可知双曲线的实轴在上，联立，
解得或，即双曲线的两顶点为，
故实轴长
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