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高考圈题〔新课标全国Ⅱ卷-数学理〕

题组28不等式选讲

一、考法解法

命题特点分析

绝对值不等式的解法为主,偶尔考查不等式证明.绝对值不等式主要采取分类讨论去绝对值.不等式证明方法较多,难度也较大

解题方法荟萃

1．三角不等式求最值

2.零点分段解多个绝对值的不等式

3．证明不等式的常用方法：

比拟法、综合法、分析法、反证法、放缩法．

二、真题剖析

【题干】(2015新课标全国Ⅱ卷)选修4-5不等式选讲

设a、b、c、d均为正数，且a+b=c+d,证明：

(1)假设,那么;

(2)是的充要条件.

【解析】〔=1\*ROMANI〕因为

由题设,得

〔=2\*ROMANII〕(i)假设,那么

因为,所以.由〔=2\*ROMANI〕得.

(ii)假设,那么

即

因为,所以,

于是

因此.

综上,是的充要条件.

〔点评〕此题主要考查不等式的根本性质、证明不等式的根本方法、等价转化思想等，题目难度不大，细心推演、很容易得分。

【题干】(2012新课标全国卷)函数

〔1〕当时，求不等式的解集；

〔2〕假设的解集包含，求的取值范围。

【答案】{|≤1或≥8}.[－3,0]

【解析】(命题意图)零点分段法,不等式恒成立问题转化为最值.

(解题点拨)(Ⅰ)当时，=，

当≤2时，由≥3得，解得≤1；

当2＜＜3时，≥3，无解；

当≥3时，由≥3得≥3，解得≥8，

∴≥3的解集为{|≤1或≥8}；

(Ⅱ)≤，

当∈[1,2]时，==2，

∴，有条件得且，即，

故满足条件的的取值范围为[－3,0].

(点评)此题主要考查含绝对值不等式的解法，是简单题.

【题干】(2014新课标全国Ⅱ卷)设函数f〔x〕＝│x＋│＋│x－a│〔a＞0〕，〔Ⅰ〕证明：f〔x〕≥2；〔Ⅱ〕假设f〔3〕＜5，求a的取值范围．

【答案】(1)见解析(2)＜a＜

【解析】(命题意图)1此题涉及不等式性质，绝对值不等式等知识点

(解题点拨)解法1

〔Ⅰ〕由绝对值不等式的几何意义可知：f〔x〕min＝a＋≥2，当且仅当a＝1时取等号，

所以f〔x〕≥2．

〔Ⅱ〕因为f〔3〕＜5，所以│＋3│＋│a－3│＜5＋3＋│a－3│＜5│a－3│＜2－－2＜a－3＜2－，解得：＜a＜

解法2〔Ⅰ〕由a＞0，有f〔x〕＝│x＋│＋│x－a│≥│x＋－〔x－a〕│＝a＋≥2，

当且仅当a＝1时取等号，所以f〔x〕≥2．

〔Ⅱ〕f〔3〕＝│3＋│＋│3－a│

当a＞3时，f〔3〕＝a＋，由f〔3〕＜5得3＜a＜

当0＜a≤3时，f〔3〕＝6－a＋，由f〔3〕＜5得＜＜a≤3

综上，a的取值范围是＜a＜

(点评)解法１应用绝对值不等式的几何意义，解法2应用绝对值不等式求得.此题涉及不等式思想等数学思想；与前些年高考相比，难度稳定，形式稳定．

【题干】(2014新课标全国Ⅰ卷)假设，且.

(Ⅰ)求的最小值；〔Ⅱ〕是否存在，使得？并说明理由.

【答案】,不存在

【解析】(命题意图)此题主要考查根本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于根底题.

(解题点拨)(Ⅰ)由，得，且当时等号成立，

故，且当时等号成立，∴的最小值为.

〔Ⅱ〕由，得，又由(Ⅰ)知，二者矛盾，所以不存在，使得成立.

(点评)利用根本不等式求最值以及考查反证法探究不等式成立与否，是比拟新颖的，打破了把重心放在求解绝对值不等式的传统模式，特别是第二问的探究，假设考生处理不等式的能力欠缺，可能会一筹莫展.第一问由条件利用根本不等式求得，再利用根本不等式求得的最小值．第二问根据根本不等式求的与相矛盾，从而可得不存在，使得．其实上这里也可以这样做：，而，所以不存在，使得.

三、高考圈题

【题干】设函数，．

当时，求不等式的解集；

对任意恒有，求实数的取值范围．

【圈题理由】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及绝对值不等式及不等式证明等内容.本小题重点考查考生的化归与转化思想.

【答案】,

【解析】(1)当时，

所以的解集为

(2)

由恒成立，有，解得

所以的取值范围是

【题干】函数，，且的解集为.

〔I〕求的值；

〔II〕假设，且

求证:.

【题干】函数．

〔1〕求不等式的解集；

〔2〕假设＞对任意正实数a，b恒成立，求实数x的取值范围．

【圈题理由】第一问考查绝对值不等式的解法,第二问考查柯西不等式,或均值不等式求最值,以及绝对值不等式解法

【答案】(1)(2)

【解析】〔1〕因为所以,不等式的解集为：

(2)因为，且为正实数,

因为对任意正实数恒成立,所以当时不等式不成立

当时解集为;当时不等式恒成立解集.综上不等式解集为

四、