专题12：幂函数-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（原卷版）.docx

专题12幂函数

精讲温故知新

1.概念：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2．幂函数的图像及性质

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝xeq\f(1,2)

y＝x－1

定义域

R

R

R

[0，＋∞)

{x|x∈R且x≠0}

值域

R

[0，＋∞)

R

[0，＋∞)

{y|y∈R且y≠0}

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶函数

奇函数

单调性

增

x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减

增

增

x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减

3.幂值的大小比较

（1）直接法:当幂指数相同时,可直接利用幂函数的单调性来比较.

（2）转化法:当幂指数不同时,可以先转化为相同幂指数,再运用单调性比较大小.

（3）中间值法:当底数不同且幂指数也不同而不能运用单调性比较大小时,可选取适当的中间值与两数分别比较,从而达到比较大小的目的.

4.幂函数性质的应用

利用幂函数的性质解不等式,实际上就是利用幂函数的单调性,将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系,解不等式(组)求参数范围时,注意分类讨论思想的应用。

题型一：幂函数的定义

例1：（2021·江西·模拟预测）已知幂函数的图象过点，则（???????）

A．0 B．2 C．4 D．5

举一反三

（2022·四川达州·二模（文））已知幂函数的图象经过点，则______．

题型二：幂函数的定义域

例2：（2022·上海·高考真题）下列幂函数中，定义域为的是（???????）

A． B． C． D．

举一反三

（2021·上海市控江中学三模）函数的定义域为_______．

题型三：幂函数的值域

例3：（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是____.

举一反三

（2015·湖北·高考真题（理））设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是

A．3 B．4 C．5 D．6

题型四：幂函数的单调性

例4：（2011·上海·高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）

A． B． C． D．

举一反三

（2022·北京房山·二模）已知函数若函数在上不是增函数，则a的一个取值为___________.

题型五：幂函数的奇偶性

例5：（2022·吉林吉林·模拟预测（文））设，使函数的定义域是R，且为偶函数的所有的值是（???????）

A．2 B．1，2

C．，2 D．，1，2

举一反三

（2012·山东·高考真题（文））若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝______.

题型六：幂函数的图像判断与应用

例6：（2021·河北石家庄·模拟预测）已知幂函数与的部分图象如图所示，直线，与，的图象分别交于A?B?C?D四点，且，则（???????）

A． B．1 C． D．2

举一反三

（2021·江西·模拟预测）函数的图象大致是（???????）

A． B．

C． D．

题型七：幂函数过定点问题

例7：（2021·浙江浙江·高一期末）以下结论正确的是（）

A．当时，函数的图象是一条直线

B．幂函数的图象都经过、两点

C．若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内随的增大而增大

D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限

举一反三

以下命题正确的是（）

①幂函数的图像都经过

②幂函数的图像不可能出现在第四象限

③当时，函数的图像是两条射线（不含端点）

④是奇函数，且在定义域内为减函数

A．①② B．②④ C．②③ D．①③

题型八：幂函数中的参数问题

例8：（2021·福建·漳州三中高一期中）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（）

A．2 B． C．4 D．2或

举一反三

（2021·山西运城·高一期中）已知幂函数在上是增函数，则实数的值为（）

A．1或 B．3 C． D．或3

题型九：幂函数比较大小

例9：（2021·江西·南昌市八一中学三模（文））已知幂函数的图象过点．设，，，则，，的大小关系是（???????）

A． B．

C． D．

举一反三

（2022·天津·一模）已知幂函数的图象经过点与点，，，，则（???????）

A． B． C． D．

精练巩固提升

一、单选题

1．（2022·重庆·三模）已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的（???????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）如图为函数的部分图象，则的值可能是（???????）

A．4 B．3 C．2 D．1

3．（2022·安徽