专题13 ω的取值范围与最值问题 （解析版）.docx

专题13ω的取值范围与最值问题

【考点预测】

1.在区间内没有零点

同理，在区间内没有零点

2.在区间内有个零点

同理在区间内有个零点

3.在区间内有个零点

同理在区间内有个零点

4.已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，则．

5.已知单调区间，则.

【方法技巧与总结】

解决ω的取值范围与最值问题主要方法是换元法和卡住ω的大致范围.

【题型归纳目录】

题型一：零点问题

题型二：单调问题

题型三：最值问题

题型四：极值问题

题型五：对称性

题型六：性质的综合问题

【典例例题】

题型一：零点问题

例1．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））函数在上没有零点，则的取值范围是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

因为在上没有零点，所以，解出的范围，再结合题意得出或，代入即可求出答案.

【详解】

因为函数，在上没有零点，所以

，所以，

即，

因为，所以，

又因为，所以，所以，

所以，因为，所以或，

当时，；

当时，，

又因为，所以的取值范围是：.

故选：C.

例2．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（理））已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由的范围，求出的范围，结合正弦函数的性质即可得结果.

【详解】

根据题意，函数，

若，即，必有，

令，则，

设，

则函数和在区间内有4个交点，

又由于，必有，

即的取值范围是，

故选：B.

例3．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知在有且仅有6个实数根，则实数的取值范围为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先化简为，再根据题意得出，求解即可.

【详解】

解：由，

得，即.

设，

即在有且仅有6个实数根，

因为，

故只需，

解得，

故选：D．

例4．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知函数在上有且仅有个零点，则的取值范围是（????????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

当时，，由已知条件可得出关于的不等式，即可解得的取值范围.

【详解】

因为，当时，，

因为函数在上有且仅有个零点，

则，解得.

故选：B.

例5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知函数在上有且只有5个零点，则实数的范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由题知在上有且只有5个零点，进而得，再结合正弦函数的图像可知，解不等式即可得答案.

【详解】

解：因为，

令，即，

所以，在上有且只有5个零点，

因为，所以，

所以，如图，由正弦函数图像，要使在上有且只有5个零点，

则，即，

所以实数的范围是.?????

故选：C

例6．（2022·广东·三模）已知函数，且f（x）在[0，]有且仅有3个零点，则的取值范围是（???????）

A．[，） B．[，） C．[，） D．[，）

【答案】D

【解析】

【分析】

求出的范围，然后由余弦函数性质得不等关系，求得参数范围．

【详解】

因为，当时，，

因为函数在上有且只有3个零点，

由余弦函数性质可知，解得.

故选：D．

例7．（2022·江西赣州·一模（文））已知函数在区间上有且仅有2个不同的零点，给出下列三个结论：

①在区间上有且仅有2条对称轴；

②在区间上单调递增；

③的取值范围是.

其中正确的个数为（???????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】

【分析】

对于③，令，得，可知，求得；

对于①，利用的对称轴为可判断；对于②，利用利用的增区间为可判断；

【详解】

对于③，，，令，得，

由函数在区间上有且仅有2个不同的零点，即取得0，，

所以，解得，故③正确；

对于①，当，，

由，知，

令，由于值不确定，所以不一定取到，故①错误；

对于②，当时，，

由，知

即，即在区间上单调递增，故②正确；

所以正确的个数为2个.

故选：C

例8．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（???????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先由零点个数求出，再用整体法得到不等式组，求出的取值范围.

【详解】

，，其中，解得：，

则，要想保证函数在恰有三个零点，满足①，

，令，解得：；或要满足②，，

令，解得：；经检验，满足题意，其他情况均不满足条件，

综上：的取值范围是.

故选：C

【点睛】

三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，确定的范围，本题中就要根据零点个数，先得到，从而求出，再进行求解.

例9．（2022·山西·一模（文））已知函数