专题16 奔驰定理与四心问题（解析版）.docx

专题16奔驰定理与四心问题

【考点预测】

一．四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．

二．奔驰定理---解决面积比例问题

重心定理：三角形三条中线的交点.

已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.

注意：（1）在中，若为重心，则．

（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．

重心的向量表示：．

奔驰定理：，则、、的面积之比等于

奔驰定理证明：如图，令，即满足

，，，故.

三．三角形四心与推论：

（1）是的重心：．

（2）是的内心：．

（3）是的外心：．

（4）是的垂心：．

【方法技巧与总结】

（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上.

为的内心.

（2）外心：为的外心.

（3）垂心：为的垂心.

（4）重心：为的重心.

【题型归纳目录】

题型一：奔驰定理

题型二：重心定理

题型三：内心定理

题型四：外心定理

题型五：垂心定理

【典例例题】

题型一：奔驰定理

例1．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则.若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则（???????）

A．为的垂心

B．

C．

D．

【答案】ABD

【解析】

【分析】

首先可根据得出，用相同的方式得出、，即可得出A正确，然后作辅助线，根据、即可得出B正确，再然后通过正弦定理得出，即，用相同的方式得出，即可得出C错误，最后结合解三角形面积公式以及B项得出、、，根据“奔驰定理”得出，结合C项即可得出D正确.

【详解】

A项：，即，

，，，

同理可得，，

故为的垂心，A正确；

B：如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点，

因为，所以，，

因为，所以，，

则

，B正确；

C项：在中，由正弦定理易知，

因为，，

所以，

即，，

同理可得，

故，C错误；

D项：，同理可得，，

则

，

同理可得，，

因为，

所以将、、代入，可得，

因为，

所以，

故成立，D正确，

故选：ABD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查正弦定理、解三角形面积公式、同角三角函数关系以及向量的相关运算，考查向量垂直的相关性质，考查学生对“奔驰定理”的理解与应用，考查化归与转化思想，考查数形结合思想，是难题.

例2．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）点在△所在的平面内，则以下说法正确的有（???????）

A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的垂心；

B．若，则点为△的内心；

C．若，则点为△的外心；

D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的重心.

【答案】BC

【解析】

【分析】

A由正弦定理知，且，代入已知等式得，即知的轨迹一定经过的哪种心；B、C分别假设为△的内心、外心，利用向量的几何图形中的关系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即可；D由，根据数量积的运算律及向量数量积的几何意义求的值，即知的轨迹一定经过的哪种心；

【详解】

A：由正弦定理知，而，所以，即动点的轨迹一定经过△的重心，故错误.

B：若为△的内心，如下图示：，同理，，，

∴，，故正确；

C：若为△的外心，分别为的中点，则，而，同理，又，故，正确；

D：由，故，即，动点的轨迹一定经过△的垂心，错误.

故选：BC

【点睛】

关键点点睛：应用已知等量关系，结合向量的运算律、数量积的值判断向量过三角形的何种心，或假设为△的内心、外心，再应用几何图形中相关线段所表示的向量，结合向量的线性关系及数量积的运算律，判断条件是否成立.

例3．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若、是锐角内的点，、、是的三个内角，且满足，，则（???????）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

变形后表示为，再由奔驰定理得出向量的关系，利用平面向量基本定理判断A，利用数量积的运算，变形后证明是的重心，由平面几何知识判断B，利用数量积的定义表示已知数量积的等式，结合选项B的结论可证明C，求出的面积，利用选项B的结论转化，再利用选项C的结论可得面积比，然后结合奔驰定理可判断D．

【详解】

因为，所以，即，所以，

又由奔驰定理得，

因为不共线，所以，