高三数学大题规范训练(5)(解析版）.pdfVIP

高三数学大题规范训练（5）

15.如图，已知四棱锥PABCD的底面是菱形，对角线AC,BD交于点，，

OOA4

，OP4,OP底面ABCD，E,F分别为侧棱PB,PD的中点，点在上且

OB3MCP



CM2MP．

（）求证：A,E,M,F四点共面；

1

（）求直线与平面所成角的正弦值．

2PABDM

【答案】（）证明见解答

1

10

（2）

10

【解答】

【分析】（1）易知ACBD，由线面垂直的性质可得OPAC,OPBD，建立如图空



22

间直角坐标系Oxyz，利用空间向量法证明AMAEAF，即可证明；

33



（）由（）求出的坐标，利用空间向量法求解线面角即可

21BM.

【小问详解】

1

因为平面ABCD是菱形，所以ACBD，

由OP平面ABCD，AC,BD平面ABCD，得OPAC,OPBD，

所以OP,OA,OB两两垂直，建立如图空间直角坐标系Oxyz，

33

A(4,0,0),B(0,3,0),C(4,0,0),D(0,3,0),P(0,0,4)，则E(0,,2),F(0,,2)，

22

48

由CM2MP，得M(,0,)，

33

33168

所以AF(4,,2),AE(4,,2),AM(,0,)，

2233



22

则AMAEAF，所以AM,AE,AF共面，

33

又直线AM,AE,AF的公共点为，所以A,E,M,F四点共面；

A

【小问详解】

2

48

由（1）知，PA(4,0,4),DB(0,6,0),BM(,3,)，

33



设平面BDM的一个法向量为n(x,y,z)，





nDB6y0

则48，令z1，得x2,y0，

nBMx3yz0

33



所以n(2,0,1)，