专题05：含参不等式恒成立问题解题策略-2023届高考数学一轮复习精讲精练（新高考专用）（解析版）.docx

专题05：含参不等式恒成立问题解题策略

精讲温故知新

三个两次之间的关系

含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：

“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。

一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有

1）对恒成立;

2）对恒成立

例1：若不等式的解集是R，求m的范围。

解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。

（1）当m-1=0时，元不等式化为20恒成立，满足题意；

（2）时，只需，所以，。

举一反三

1．已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（???????）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【解析】

【分析】

当时，不等式显然成立；当时，由题意有，求解不等式组即可得答案.

【详解】

解：当时，恒成立，符合题意；

当时，由题意有，解得，

综上，.

故选：B.

二、最值法

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：

1）恒成立

2）恒成立

例2、若时，不等式恒成立，求的取值范围。

解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。

当即：时，又所以不存在；

当即：时，又

当即：时，又

综上所得：

举一反三

关于的不等式在内有解，则的取值范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据不等式有解可得当时，，结合二次函数的最值可求得结果.

【详解】

在内有解，，其中；

设，则当时，，

，解得：，的取值范围为.

故答案为：.

三、分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：

1）恒成立

2）恒成立

例3、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。

例11解：令，所以原不等式可化为：，

要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。

举一反三

若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】.

【解析】

【分析】

根据给定条件，等价变形不等式，构造函数，借助基本不等式计算作答.

【详解】

对于任意的，不等式，即，

因此，对于任意的，恒成立，

当时，，，当且仅当，即时取“=”，

即当时，取得最小值4，则，

所以实数的取值范围是.

四、变换主元法

处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

例4．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。

分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。

解：令，则原问题转化为恒成立（）。

当时，可得，不合题意。

当时，应有解之得。

故的取值范围为。

注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。

举一反三

当时，不等式恒成立，求的取值范围．

【答案】．

【解析】

【分析】

令，，依题意，即可得到不等式组，解得即可；

【详解】

解：由题意不等式对恒成立，

可设，，

则是关于的一次函数，要使题意成立只需，即，解，即得，解，即得，所以原不等式的解集为，所以的取值范围是．

分类讨论法

处理含参不等式恒成立的某些问题时，有些时候需要对参数进行讨论。

例5．若不等式对一切都成立，则a的最小值为（???????）

A．0 B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质，根据对称轴的位置分类讨论可得..

【详解】

记，

要使不等式对一切都成立，则：

或或

解得或或，即.

故选：D

举一反三

若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】

分和两种情况，结合二次函数的图像与性质，求解即可.

【详解】

当时，不等式为，满足题意；

当，需满足，解得，

综上可得，的取值范围为，

故答案为：.

六、数形结合法

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：

1）函数图象恒在函数图象上方；

2）函数图象恒在函数图象下上方。

例6．设,,

若恒有成立,求实数的取值范围.

分析：在同一直角坐标系中作出及

x-2-4yO-4

x

-2

-4

y

O

-4

的图象是

平行的直